Pierādiet, ka naturāls skaitlis \(n\) ir pirmskaitlis tad un tikai tad, kad eksistē viens vienīgs skaitļu pāris \((x, y)\), kuram izpildās vienādība \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{n}\).
Pien̦emsim, ka \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{n}\). Tad \(x<n\) un \(n \neq 1\). Apzīmēsim \(x=n-i\) (\(0<i<n\)). Ievietojot dotajā vienādībā, iegūsim vienādību
\[\frac{1}{n-i}-\frac{1}{n}=\frac{1}{y},\quad \text{jeb}\quad y=\frac{n(n-i)}{i}.\]
Skaidrs, ka vienmēr eksistē viens atrisinājums \(i=1, x=n-1, y=n(n-1)\). tam atbilst identitāte\[\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n}.\]
Ja \(n\) ir pirmskaitlis, tad \((n, i)=1\), un no tā, ka \(i \mid n(n-i)\) seko, ka \(i \mid(n-i)\) un \(i \mid n\) , jeb \(i=1\). Tātad šajā gadījumā citu atrisinājumu nav. Ja \(n\) nav pirmskaitlis, tad \(n=n_{1}n_{2}\), un mēs varam uzrakstīt vēl citu atrisinājumu \(i=n_{1}, x=n-n_{1}, y=\left(n-n_{1}\right) n_{2}\).