Doti tādi veseli skaiţ̦i \(u\) un \(v\), ka \(u^{2}+u v+v^{2}\) dalās ar 9. Pierādiet, ka abi skaitlii \(u\) un \(v\) dalās ar \(3\).
Dots, ka skaitlis \(u^{2}+uv+v^{2} = (u-v)^{2} + 3uv\) dalās ar \(9\). No šejienes seko, ka
\[3 \mid (u-v)^{2},\quad 3 \mid (u-v)\quad \text{un} \quad 9 \mid (u-v)^{2}.\]
Tādā gadījumā \(9 \mid 3uv\) un \(3 \mid uv\). Redzam, ka vismaz viens no skaitļiem \(u\) un \(v\) dalās ar 3, bet n̦emot vērā, ka \(u\) un \(v\) starpība dalās ar \(3\), iegūstam, ka abi skaitļi \(u\) un \(v\) dalās ar \(3\).