Ar \(d(i)\) apzīmēsim skaitļa \(i\) naturālo dalītāju skaitu. Pierādiet, ka jebkuram naturālam skaitlim \(n\) izpildās vienādība
\[d(1)+d(2)+\ldots+d(n)= \left\lfloor \frac{n}{1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \ldots + \left\lfloor \frac{n}{n} \right\rfloor.\]
Aplūkosim funkciju, kas definēta visiem naturāliem skaitlu pāriem \((i, j)\) :
\[ f(i, j)=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { ja } i \text { nedala } j \\ 1, \text { ja } i \text { dala } j \end{array}\right. \]
Aprēķināsim summu \(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f(i, j)\) divos dažādos veidos:\[\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f(i, j)=\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{n}{i}\right] \\ & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f(i, j)=\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} f(i, j)=\sum_{j=1}^{n} d(j) \end{aligned}\]
No šejienes seko pierādāmā vienādība.