Pierādīt, ka vienādība
\[\sum_{k=1}^n \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{n-1}{k} \right\rfloor,\; n \in \mathbb{N}, n\geq 2\]
izpildās tad un tikai tad, kad \(n\) ir pirmskaitlis.Ievērosim, ka
\[\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{n}{k}\right]=\left[\frac{n}{1}\right]+\sum_{k=2}^{n-1}\left[\frac{n}{k}\right]+\left[\frac{n}{n}\right]=n+1+\sum_{k=2}^{n-1}\left[\frac{n}{k}\right]\]
bet\[\sum_{k=1}^{n-1}\left[\frac{n-1}{k}\right]=\left[\frac{n-1}{1}\right]+\sum_{k=2}^{n-1}\left[\frac{n-1}{k}\right]=n-1+\sum_{k=2}^{n-1}\left[\frac{n-1}{k}\right]\]
un pierādāmā vienādība ir ekvivalenta ar sekojošu vienādību:\[\sum_{k=2}^{n-1}\left(\left[\frac{n}{k}\right]-\left[\frac{n-1}{k}\right]\right)=0\]
Tā kā\[\left(\left[\frac{n}{k}\right]-\left[\frac{n-1}{k}\right]\right)=\left\{\begin{array}{c} 0, \text { ja } k \text { nedala } n \\ 1, \text { ja } k \text { dala } n, \end{array}\right.\]
tad dotā vienādība izpildās tad un tikai tad, kad \(n\) nedalās ne ar vienu no skaitliem \(2,3, \ldots, n-1\); t.i., kad \(n\) ir pirmskaitlis.