Doti \(12\) dažādi naturāli skaiţ̦li. Katriem \(5\) no tiem mazākais kopīgais
dalāmais ir viens un tas pats skaitlis \(M\). Ir zināms, ka no dotajiem
\(12\) skaitliem var izvēlēties \(x\) skaiţ̧us tā, ka katri divi no izvēlētajiem
skaiţ̦liem ir savstarpēji pirmskaitļi.
(A) Pierādīt, ka \(x \leq 4\).
(B) Pierādīt, ka var gadīties, ka \(x=4\).
(A) Pien̦emsim pretējo, ka ir izdevies izvēlēties piecus skaitļus, kas ir pa pāriem savstarpēji pirmskaiţ̦i; apzīmēsim tos ar \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\). Šo skaitlu MKD ir \(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}\), tāpēc jebkuru piecu doto skaitļu MKD ir \(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}\).
Apzīmēsim ar \(y\) jebkuru no dotajiem \(12\) skaitļiem, kas nav ne \(a_{1}\), ne \(a_{2}\), ne \(a_{3}\), ne \(a_{4}\), ne \(a_{5}\). Apskatīsim \(5\) skaitļus \(y, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\). To MKD noteikti satur reizinājumu \(a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}\) un vēl tos pirmreizinātājus, kas jāpievieno lai šis MKD dalîtos ar \(y\). No otras puses šis MKD ir \(a_{1} \cdot\left(a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}\right)\). Tāpēc \(a_{1}\) noteikti ieiet kā reizinātājs skaitlī \(y\), tātad \(y\) dalās ar \(a_{1}\). Līdzīgi pierāda, ka \(y\) dalās ar \(a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\). Tā kā \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\) ir pa pāriem savstarpēji pirmskaitļi, tad \(y\) dalās ar \(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}\).
No otras puses \(\operatorname{MKD}\left(y, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\right)=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}\), tāpēc \(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}\) dalās ar \(y\). Tas nozīmē, ka \(y=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}\). Iznāk, ka katrs mūsu kopas skaitlis, kas nav s\(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\) ir vienāds ar \(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}\). Tā ir pretruna ar uzdevuma nosacījumu, ka visi dotie skaitļi ir dažādi.
(B) Pieņemsim, ka \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{8}\) ir dažādi pirmskaitļi.
Aplūkosim skaitlus \(p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} p_{5} p_{6} p_{7} p_{8}\) kā arī visus šo \(8\) pirmskaitļu reizinājumus pa septiṇiem skaitļiem. Kopā mums ir \(12\) skaitļi. Pirmie 4 no tiem ir pa pāriem savstarpēji pirmskaitļi. Ievērosim, ka visi šie skaitļi ir skaitļa \(P=p_{1} p_{2} p_{3} \cdots p_{8}\) dalîtāji. Pierādīsim, ka jebkuru \(5\) no \(12\) izvêlētajiem skaitliem MKD ir vienāds ar \(P\). Ja starp izvēlētajiem \(5\) skaiţ̦iem ir vismaz divi "reizinājumi pa 7", tad ar to jau pietiek, lai MKD būtu \(P\) (šie divi reizinājumi satur visus \(8\) pirmskaitļus). Ja "reizinājums pa \(7\)" starp tiem ir tikai viens, tad pārējie skaitļi ir \(p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} p_{5} p_{6} p_{7} p_{8}\), un atkal MKD ir vienāds ar \(P\). Apgalvojums pierādīts.