Dots naturāls skaitlis \(n\). Aplūkosim tādu naturālu skaiţ̦u pārus \((u, v)\), kuriem \([u, v]=n\). Pierādiet, ka šādu pāru skaits ir vienāds ar skaiț̣a \(n^{2}\) pozitīvo dalītāju skaitu.
Lai pierādītu prasīto apgalvojumu, katram naturālu skaitlu pārim \((u ; v)\), kuram \([u, v]=1\), viennozīmīgi piekārtosim skaitla \(n^{2}\) naturālu dalītāju.
Attēlojumu definēsim šādi:
\[f(u, v)=\frac{u \cdot n}{v}=d.\]
Var pārbaudīt, ka \(d\) ir \(n^{2}\) dalītājs. Apgriezto attēlojumu definē ar formulām:\[u=\frac{d n}{[d, n]},\;\; v=\frac{n^{2}}{[d, n]} .\]
No šejienes seko prasītais.