Naturāliem skaiţ̧iem \(x, y, z\) izpildās vienādība \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\). Skaitļu \(x, y, z\) lielākais kopīgais dalītājs ir \(h\). Pierādīt, ka skaitļi \(h x y z\) un \(h(y-z)\) ir kvadrāti.
Apzīmēsim \(x=ah\), \(y=bh\), \(z=ch\), \((a, b, c)=1\). Doto vienādību pārveidojam formā \(c(b-a)=ab\). Tad \(hxyz = h^{4} c^{2}(b-a)\) un \(h(y-x)=h^{2}(b-a)\). Mums ir jāpierāda, ka \(b-a\) ir kvadrāts.
Apzīmēsim \(f=(b, c)\), \(b=fk\), \(c=fl\), \((k, l)=1\). No vienādības \(c(b-a)=a b\) seko, ka \(f^{2}kl = af(k+l)\). Tā kā \(k,l\) un \(k+l\) ir savstarpēji pirmskaitļi, tad \((k+l) \mid f\); \(f=n(k+l)\). No šejienes
\[b=n(k+l) k, \quad c=n(k+l)l,\;\; a=\frac{f^{2}kl}{f(k+l)}=nkl.\]
Redzam, ka \(n\) ir skaitlu \(a, b\) un \(c\) dalītājs; tātad \(n=1\) un \(b-a=k^{2}\). Prasītais pierādīts.