Atrisinājums

Pārveidosim doto vienādību formā \(a+b=\frac{a b}{c}\). Apzīmēsim \((a, b)=d\); tad \(a=a_{1}d\), \(b=b_{1}d\), \(\left(a_{1}, b_{1}\right)=1\). Iegūstam

\[\left(a_{1}+b_{1}\right) d=\frac{a_{1} b_{1} d^{2}}{c}, \text{ jeb }\left(a_{1}+b_{1}\right)=\frac{a_{1} b_{1} d}{c}.\]

No šejienes var secināt, ka \(\frac{a_{1}+b_{1}}{d}=\frac{a_{1} b_{1}}{c}\) ir vesels skaitlis, jo \((d, c)=(a, b, c)=1\). Arī skaitlis \(c=\frac{a_{1} b_{1} d}{a_{1}+b_{1}}\) ir vesels skaitlis, un tā kā \(\left(a_{1}, a_{1}+b_{1}\right)=\left(b_{1}, a_{1}+b_{1}\right)=1\), tad \(\frac{d}{a_{1}+b_{1}}\) ir vesels skaitlis. Tātad, \(d\) dalās ar \(a_{1}+b_{1}, a_{1}+b_{1}\) dalās ar \(d\), un \(a_{1}+b_{1}=d\). Rezultātā iegūstam, ka \(a+b=d\left(a_{1}+b_{1}\right)=d^{2}\).