Doti naturāli skaiţ̧i \(a\) un \(b\). Zināms, ka \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\) ir vesels skaitlis. Pierādīt, ka \((a, b) \leq \sqrt{a+b}\).
Apzīmēsim \((a, b)=d\). No vienādības
\[\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}+a+b}{ab}\]
seko, ka \(a^{2}+b^{2}+a+b\) dalās ar \(a b\), un tātad arī ar \(d^{2}\). Arī \(a^{2}+b^{2}\) dalās ar \(d^{2}\). Tātad \(a+b\) dalās ar \(d^{2}\); tas nozīmē, ka \(a+b \geq d^{2}\). Izvelkot kvadrātsakni, iegūstam prasīto.