Atrisinājums

Ja \(p=q\), tad \(p^{2}+p q+q^{2}=3 p^{2}\) un tas nav naturāla skaitla kvadrāts. Nezaudējot vispārīgumu, varam pieṇemt, ka \(p<q\). Tādā gadījumā \(p^{2}+p q+q^{2}=k^{2}>1\). Veicot ekvivalentus pārveidojumus, iegūstam:

\[\begin{gathered} p^{2}+2pq+q^{2}-k^{2} = pq\\ (p+q)^{2}-k^{2} = pq\\ (p+q-k)(p+q+k) = pq \end{gathered}\]

Tā kā \(p\) un \(q\) ir pirmskaitl̦i, tad iespējami divi gadījumi: 1. Ja \(p+q-k=1\) un \(p+q+k=p q\), tad \(k=p+q-1\) un, ievietojot otrajā vienādībā, iegūstam \(p+q+(p+q-1)=pq\). Pārveidojam iegūto vienādību:

\[\begin{gathered} pq+1-2p-2q = 0\\ pq+4-2 p-2q = 3\\ (p-2)(q-3)=3 \end{gathered}\]

Tā kā ir tikai viens veids, kā skaitli 3 izteikt kā divu naturālu skaitļu reizinājumu, tad \(p-2=1\) un \(q-2=3\) jeb \(p=\) 3 un \(q=5\). Līdz ar to \(p^{2}-p q+q^{2}=9-15+25=19\) un tas ir pirmskaitlis. 2. Ja \(p+q-k=p\) un \(p+q+k=q\), tad no otrās vienādības iegūstam, ka \(p=-k\) un šis gadījums neder.