Atrisinājums

Izmantojot doto vienādību \(x+y+z=1\) un veicot ekvivalentus pārveidojumus, iegūstam:

\[\begin{gathered} \frac{1}{x y+x+y+1}+\frac{1}{y z+y+z+1}+\frac{1}{x z+x+z+1} \geq \frac{27}{16} \\ \frac{1}{(x+1)(y+1)}+\frac{1}{(y+1)(z+1)}+\frac{1}{(x+1)(z+1)} \geq \frac{27}{16} \\ \frac{z+1+x+1+y+1}{(x+1)(y+1)(z+1)} \geq \frac{27}{16} \\ \frac{4}{(x+1)(y+1)(z+1)} \geq \frac{27}{16} \\ \frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)} \geq \frac{27}{64} \end{gathered}\]

Pierādīsim, ka pēdējā nevienādība ir patiesa, izmantojot nevienādību starp aritmētisko vidējo un ǵeometrisko vidējo pozitīviem skaitliem \(x+1, y+1\) un \(z+1\):

\[\begin{gathered} \frac{(x+1)+(y+1)+(z+1)}{3} \geq \sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)} \\ \frac{4}{3} \geq \sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)} \\ \frac{64}{27} \geq(x+1)(y+1)(z+1) \\ \frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)} \geq \frac{27}{64} \end{gathered}\]