Pierādīt, ka visām naturālām \(n\) vērtībām \(2^{2n-1} 3^{n-1}+5^{n}\) dalās ar \(7\).
Veicam ekvivalentus pārveidojumus:
\[2^{2 n-1} 3^{n-1}+5^{n}=2 \cdot 2^{2 n-2} \cdot 3^{n-1}+5^{n}=2 \cdot 12^{n-1}+5^{n} = \frac{12^{n}+6 \cdot 5^{n}}{6}=\frac{12^{n}-5^{n}+7 \cdot 5^{n}}{6}\]
Starpība \(12^{n}-5^{n}\) dalās ar \(7\), tātad skaitītājs dalās ar \(7\). Tā kā sākotnējā izteiksme ir naturāls skaitlis visām naturālām \(n\) vērtībām, un \(7\) un \(6\) ir savstarpēji pirmskaitļi, tad arī sākotnējā izteiksme dalās ar \(7\).Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi.
Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad \(2^{1} \cdot 3^{0}+5^{1}=7\), kas dalās ar \(7\). Induktīvais pieñēmums. Pieņemsim, ka apgalvojums ir patiess, ja \(n=k\), t. i.,
\[2^{2 k-1} 3^{k-1}+5^{k} \vdots 7\]
*Induktīvā pāreja.* Pierādīsim, ka apgalvojums ir patiess arī tad, ja \(n=k+1\), t. i.,\[2^{2 k+1} 3^{k}+5^{k+1} \vdots 7\]
Pārveidosim izteiksmi: \(2^{2k+1} 3^{k}+5^{k+1} =4 \cdot 2^{2k-1} \cdot 3 \cdot 3^{k-1}+5 \cdot 5^{k} = 12 \cdot 2^{2k-1} 3^{k-1}+5 \cdot 5^{k} =\text{}\) \(\text{}=\underbrace{5 \cdot\left(2^{2 k-1} 3^{k-1}+5^{k}\right)}{\vdots 7\;\text{pēc ind.pieņ.}}+ \underbrace{7 \cdot 2^{2 k-1} 3^{k-1}}{\vdots 7}.\) Ja katras saskaitāmais dalās ar \(7\), tad visa summa dalās ar \(7\). Secinājums. Tā kā apgalvojums ir patiess, ja \(n=1\), un no tā, ka apgalvojums ir patiess, ja \(n=k\), izriet, ka apgalvojums ir patiess arī \(n=k+1\), secinām, ka apgalvojums ir patiess visām naturālām vērtībām.