Atrisinājums

Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi.

Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad \(2^{1} \cdot 3^{0}+5^{1}=7\), kas dalās ar \(7\). Induktīvais pieñēmums. Pieņemsim, ka apgalvojums ir patiess, ja \(n=k\), t. i.,

\[2^{2 k-1} 3^{k-1}+5^{k} \vdots 7\]

*Induktīvā pāreja.* Pierādīsim, ka apgalvojums ir patiess arī tad, ja \(n=k+1\), t. i.,

\[2^{2 k+1} 3^{k}+5^{k+1} \vdots 7\]

Pārveidosim izteiksmi: \(2^{2k+1} 3^{k}+5^{k+1} =4 \cdot 2^{2k-1} \cdot 3 \cdot 3^{k-1}+5 \cdot 5^{k} = 12 \cdot 2^{2k-1} 3^{k-1}+5 \cdot 5^{k} =\text{}\) \(\text{}=\underbrace{5 \cdot\left(2^{2 k-1} 3^{k-1}+5^{k}\right)}{\vdots 7\;\text{pēc ind.pieņ.}}+ \underbrace{7 \cdot 2^{2 k-1} 3^{k-1}}{\vdots 7}.\) Ja katras saskaitāmais dalās ar \(7\), tad visa summa dalās ar \(7\). Secinājums. Tā kā apgalvojums ir patiess, ja \(n=1\), un no tā, ka apgalvojums ir patiess, ja \(n=k\), izriet, ka apgalvojums ir patiess arī \(n=k+1\), secinām, ka apgalvojums ir patiess visām naturālām vērtībām.