LV.VOL.2025.11.2 lv
Četrstūris \(ABCD\) ievilkts riṇk̦a līnijā, tā diagonāles krustojas punktā \(E\). Uz hordām \(AC\) un \(BD\) attiecīgi atlikti tādi punkti \(F\) un \(G\), ka \(AF=BE\) un \(DG=CE\). Pierādīt, ka punkti \(B,F,G,C\) atrodas uz vienas riṇḳa līnijas!
Atrisinājums
Izmantojot krustisku hordu īpašību, iegūstam, ka \(BE \cdot ED = AE \cdot CE\) (skat. 8. att.). Izsakām nogriežṇus \(ED\) un \(AE\): - \(ED = EG + GD = EG + CE\); - \(AE = AF + FE = BE + EF\).
Līdz ar to iegūstam:
\[\begin{gathered} BE \cdot (EG+CE) = (BE + FE) \cdot CE; \\ BE \cdot EG + BE \cdot CE = BE \cdot CE + FE \cdot CE; \\ BE \cdot EG = FE \cdot CE. \end{gathered}\]
Tātad punkti \(B,F,G,C\) atrodas uz vienas riṇḳa līnijas, jo izpildās krustisku hordu īpašībai aprieztā īpašība.