Naturālu skaitli ar vismaz diviem cipariem sauksim par īpašu, ja, nodzēšot jebkuru vienu tā ciparu, iegūst sākotnējā skaitḷa dalītāju. Piemēram, \(120\) ir īpašs skaitlis (dalās gan ar \(12\), gan ar \(20\), gan ar \(10\), nodzēšot attiecīgi \(0\); \(1\) vai \(2\)). Atrast visus deviņciparu īpašos skaitlus, kuri dalās ar deviṇi!
Piezīme. Gadījumā, ja pēc pirmā cipara nodzēšanas atlikušais skaitlis sākas ar vienu vai vairākām nullēm, tad liekās nulles tiek atmestas.
Pierādīsim, ka katram īpašam skaitlim, kuram ir vismaz trīs cipari, pēdējais cipars noteikti ir 0, kā arī nodzēšot šo pēdējo ciparu, ir iegūts cits īpašais skaitlis. Aplūkosim \(n\)-ciparu skaitli \(A=\overline{a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n-1} a_{n}}\). Tā kā skaitlis ir īpašs, tas dalās ar skaitli, kuru iegūst, nodzēšot pēdējo ciparu \(a_{n}\) jeb tas dalās ar skaitli \(\overline{a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n-1}}\). Šī dalītāja reizinājums ar 10 ir \(\overline{a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n-1} 0}\), līdz ar to \(a_{n}=0\), jo, reizinot aplūkoto dalītāju ar naturālu skaitli, kas ir lielāks vai mazāks nekā 10, iegūtais reizinājums būs lielāks vai mazāks nekā \(A\) attiecīgi, salīdzinot šķiras sākot ar desmitiem (jo \(\overline{a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n-1}}\) ir vismaz divciparu skaitlis). Ja nodzēstu jebkuru skaitļa \(A\) ciparu, kas nav pēdējais, iegūtais skaitlis \(D\) būs skaitļa \(10\) daudzkārtnis, jo pēdējais cipars būs \(0\). Tā kā gan \(A\), gan iegūtais dalītājs \(D\) dalās ar 10, arī \(\frac{A}{10}=\overline{a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n-1}}\) dalās ar \(\frac{D}{10}\). Tā kā \(\frac{D}{10}\) iegūts no \(\overline{a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n-1}}\) nodzēšot kādu brīvi izvēlētu ciparu, tad arī skaitlis \(\overline{a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n-1}}\) ir īpašs. No tā izriet, ka deviņciparu īpašie skaitḷi ir uzrakstāmi formā \(\overline{a_{1} a_{2} 0000000}\), kur \(\overline{a_{1} a_{2}}\) ir īpašs divciparu skaitlis (tātad \(a_{2} \neq 0\) ). Tā kā \(\overline{a_{1} a_{2}}\) dalās ar \(a_{1}\), tad arī \(\overline{a_{1} a_{2}}-\overline{a_{1} 0}=a_{2}\) dalās ar \(a_{1}\). Šāds nosacījums izpildās visiem divciparu skaitḷiem, kas mazāki nekā \(20\), un arī skaitḷiem \(22\), \(24\), \(26\), \(28\), \(33\), \(36\), \(39\), \(44\), \(48\), \(55\), \(66\), \(77\), \(88\) un \(99\). Lai \(\overline{a_{1} a_{2} 0000000}\) dalītos ar \(9\), skaitlim \(\overline{a_{1} a_{2}}\) arī jādalās ar \(9\). Tātad derīgie skaitļi ir \(18\), \(36\) un \(99\). Nosacījums, ka \(\overline{a_{1} a_{2}}\) dalās ar \(a_{2}\) neizpildās vienīgi skaitlim \(18\). Tātad \(360000000\) un \(990000000\) ir vienīgie deviṇciparu īpašie skaitḷi, kuri dalās ar \(9\).