Sākums

LV.VOL.2024.9.4   lv

Uz tāfeles uzrakstīta izteiksme \(\overline{abc} \cdot \overline{def} \cdot \overline{ghi} \cdot \overline{jkl}\), kas ir četru trīsciparu skaitļu reizinājums. Katrā gājienā Gustavs izvēlas kādu nenulles ciparu un Maruta to ieraksta kāda burta vietā (Gustavs redz, kurā). Pierādīt, ka Maruta vienmēr var panākt, ka pēc \(12\) gājieniem iegūtās izteiksmes vērtība dalās ar \(9\).

Hide solution

Atrisinājums

Maruta var rīkoties tā:

  • ciparus, kas, dalot ar \(3\), dod atlikumu \(1\) (cipari \(1; 4; 7\)), rakstīt pirmajā skaitlī;
  • ciparus, kas, dalot ar \(3\), dod atlikumu 2 (cipari 2; 5; 8), rakstīt otrajā skaitlī;
  • ciparus, kas dalās ar \(3\) (cipari \(3; 6; 9\)), rakstīt trešajā skaitlī.

Kad kādā no skaitļiem visi cipari ir aizpildīti, tad šo ciparu kategoriju Maruta var turpināt rakstīt ceturtajā skaitlī. Šādi viņa var panākt, ka vismaz divos skaitļos visi trīs cipari dod vienu un to pašu atlikumu, dalot ar 3, tātad to summa dalās ar \(3\). Līdz ar to vismaz divi no šiem četriem trīsciparu skaitļiem dalīsies ar \(3\), tātad visu skaitļu reizinājums dalīsies ar \(9\).