Vai eksistē \(5\) dažādi naturāli skaitļi ar īpašību, ka to vidējais aritmētiskais ir: (A) tieši \(3\) reizes lielāks; (B) tieši \(2\) reizes lielāks nekā visu šo skaitļu lielākais kopīgais dalītājs?
(A) Jā, tādi skaitļi ir \(1; 2; 3; 4; 5\). To vidējais aritmētiskais ir
\((1 + 2 + 3 + 4 + 5) ∶ 5 = 15 ∶ 5 = 3\) un lielākais kopīgais dalītājs ir \(1\).
(B) Nē, neeksistē. Pieņemsim, ka tādi skaitļi eksistē un to lielākais
kopīgais dalītājs ir \(d\). Tādā gadījumā skaitļi ir
\(a_1d; a_2d; a_3d; a_4d; a_5d\), kur naturāli skaitļi \(a_1,a_2,\ldots,a_5\) tiek iegūti
sākotnējos piecus skaitļus dalot ar \(d\). Ir jāizpildās vienādībai:
\[\frac{a_1d + a_2d + a_3d + a_4d + a_5d}{5} = 2d\;\;\text{jeb}\;\;a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 10.\]
Visi \(a_i\) ir dažādi; bet tā kā pat piecu vismazāko dažādo naturālo skaitļu summa ir \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 > 10\), tad šādi skaitļi neeksistē.