Atrisinājums

Apskatām trīs tādus pozitīvus skaitļus \(\alpha, \beta, \gamma\), kuriem \(\alpha + \beta + \gamma = 3\). Tad, lietojot nevienādību starp vidējo aritmētisko un vidējo ģeometrisko, iegūstam

\[3x^2 + y^2 + 1 = (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + y^2 + 1 = \alpha{}x^2 + (\beta{}x^2 + y^2) + (\gamma{}x^2 + 1) \geq \alpha{}x^2 + 2\sqrt{\beta}xy + \sqrt{\gamma}x.\]

Tā kā pierādāmajā nevienādībā labās puses izteiksmes saskaitāmo koeficientiem jābūt vienādiem, tad izvēlamies tādas \(\alpha\), \(\beta\) un \(\gamma\) vērtības, lai \(\alpha = 2 \sqrt{\beta} = 2\sqrt{\gamma}\), kas ir ekvivalents ar

\[\begin{array}{c} 2\alpha^2 = 4\beta + 4\gamma; \\ 2\alpha^2 = 4(3 − \alpha); \\ \alpha^2 + 2\alpha − 6 = 0; \\ \alpha = −1 \pm \sqrt{7}. \\ \end{array}\]

Tātad \(\alpha = \sqrt{7} - 1\), jo \(\alpha\) ir pozitīvs. Tātad \(\beta = \gamma = 2 - \frac{\sqrt{7}}{2}\). Paņemot šādus koeficientus sanāk, ka

\[3x^2 + y^2 + 1 \geq (\sqrt{7} − 1)(x^2 + xy + x)\]

visiem reāliem skaitļiem \(x\) un \(y\), kas nozīmē, ka skaitlim \(\sqrt{7} - 1\) izpildās dotā nevienādība. Turklāt, ja izvēlamies skaitļus \(x\) un \(y\) ar īpašību, ka

\[\begin{array}{c} \beta x^2 = y^2 = 1;\\ \left( 2 - \frac{\sqrt{7}}{2}\right) x^2 = 1;\\ x = \frac{1 + \sqrt{7}}{3},\;\;y=1\\ \end{array}\]

tad nevienādība kļūs par vienādību, no kā secinām, ka visas skaitļa \(A\) vērtības lielākas nekā \(\sqrt{7} - 1\) neapmierina uzdevuma nosacījumus, no kā var secināt, ka lielākais skaitlis \(A\) ar prasīto īpašību ir \(\sqrt{7} - 1\).