Profesors Cipariņš iedomājās naturālu skaitli \(n\) un uz tāfeles vienu aiz otra bez atstarpes uzrakstīja skaitļus \(2^n\) un \(14^n\) (tieši šādā secībā), uzrakstīto skaitli apzīmēsim ar \(C\) (piemēram, ja \(n=2\), tad \(C = 4196\)). Vai iespējams, ka skaitlis \(C-1\) ir pirmskaitlis?
Pamatosim, ka \(C-1\) nevar būt pirmskaitlis. Pieņemsim pretējo, ka ir dots tāds naturāls skaitlis \(n\), ka \(C-1\) ir pirmskaitlis. Skaitļa \(2^n\) ciparu summa pēc moduļa \(3\) ir \((−1)^n\). Līdzīgi arī skaitļa \(14^n\) ciparu summa pēc moduļa \(3\) būs \((−1)^n\). Tas nozīmē, ka skaitļa \(C\) ciparu summa pēc moduļa \(3\) ir \((−1)^n + (−1)^n\). Ja skaitlis \(n\) ir nepāra, tad skaitļa \(C-1\) ciparu summa dalās ar \(3\), jo \((−1)^n + (−1)^n − 1 \equiv −1 − 1 − 1 \equiv 0 \pmod 3\). Tātad secinām, ka \(n\) jābūt pāra skaitlim. Tagad apskatām skaitļa \(C\) pēdējo ciparu. To viennozīmīgi noteiks skaitļa \(14^n\) pēdējais cipars. Tā kā mūs interesē tikai pēdējais cipars, tad varam pētīt skaitļa \(4^n\) pēdējo ciparu.
| \(n\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(4^n \pmod 10\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) | \(6\) |
Ievērojam, ka skaitļa \(C\) pēdējais cipars vienmēr būs \(6\), ja \(n\) ir pāra skaitlis. Tas nozīmē, ka skaitļa \(C-1\) pēdējais cipars būs \(5\) jeb skaitlis \(C − 1\) dalīsies ar \(5\). Iegūstam pretrunu ar pieņēmumu, ka \(C - 1\) ir pirmskaitlis.