Atrisinājums

No pirmā vienādojuma atņemot otro, iegūstam:

\[x - y + \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = y - x;\]

\[2(x - y) = \frac{1}{y} - \frac{1}{x}\;\;\Rightarrow{}2(x-y) = \frac{x-y}{xy}.\]

Aplūkojam gadījumu, kad \(x=y\). Tad no sistēmas pirmā vienādojuma izriet, ka \(\frac{1}{x} = z\). No trešā sistēmas vienādojuma iegūstam, ka

\[\frac{1}{x} = x+x\;\;\Rightarrow\;\;x^2=1\;\;\Rightarrow\;\;x=\pm 1.\]

Līdz ar to esam ieguvuši atrisinājumus \((1; 1; 1)\) un \((−1; −1; −1)\). Ja \(x \neq y\), tad \(xy = \frac{1}{2}\). Analogi, saskaitot sistēmas 2. un 3. vienādojumu, kā arī saskaitot sistēmas 1. un 3. vienādojumu, iegūstam, ka \(yz = xz = xy = \frac{1}{2}\). Taču, ja \(yz = xz, xz = xy, yz=xy\) un neviens no \(x,y,z\) nav nulle (pēc definīcijas kopas), tad \(y=x\), \(z=y\), \(z=x\), tāpēc \(x=y=z\), kas ir jau apskatītais gadījums.