Skolas 10. klašu olimpiādē piedalījās 10.a un 10.b klases skolēni. Pirmo reizi saskaitot rezultātus, tika noskaidrots, ka 10.a klases skolēnu vidējais rezultāts ir \(37\) punkti, bet 10.b klases skolēnu vidējais rezultāts ir \(11\) punkti. Pārskatot darbus, atklājās, ka viens skolēna darbs bija pielikts pie nepareizās klases. Pārrēķinot vidējo rezultātu, izrādījās, ka abās klasēs tas ir palielinājies tieši par \(1\) punktu (un tagad ir attiecīgi \(38\) un \(12\) punkti). Cik skolēnu kopā piedalījās šajā olimpiādē?
Olimpiādē pavisam piedalījās \(26\) skolēni.
Vispirms pamatosim, ka sajauktais darbs vispirms tika pierēķināts 10.a klases rezultātam, bet pēc tam to pārlika pie 10.b klases darbiem. Pieņemsim pretējo, ka sajauktais darbs no sākuma bija pielikts pie 10.b klases, bet beigās to pielika pie 10.a klases. Tā kā 10.b klases vidējais punktu skaits, noņemot šo darbu, palielinājās, tad šī darba punktu skaitam jābūt mazākam nekā klases vidējais punktu skaits, tas ir, punktu skaits ir mazāks nekā \(11\). Līdzīgi, tā kā, pieliekot to pie 10.a klases darbiem, to vidējais punktu skaits palielinājās, tad darba punktu skaitam jābūt lielākam nekā 10.a klases vidējais punktu skaits, tas ir, vairāk nekā \(37\) punktiem. Iegūta pretruna. Tātad sajauktais darbs beigās tika pārlikts pie 10.b klases darbiem.
Ar \(n\) un \(m\) apzīmēsim attiecīgi 10.a un 10.b klases skolēnu skaitu, kas piedalījās olimpiādē un kuru darbi netika sajaukti. Vēl ir viens skolēns, kuru sākumā pieskaitīja pie 10.b klases, bet tam jābūt pie 10.a klases, tā punktu skaitu apzīmēsim ar \(z\). Tātad kopējais skolnieku skaits, kas piedalījās olimpiādē, ir \(n+m+1\). Apzīmējam punktu summu bez sajauktā darba 10.a klasē ar \(X\). Tā kā kopā ar sajaukto darbu vidējais punktu skaits bija \(37\), bet bez tā – \(38\), tad iegūstam divus vienādojumus:
\[\frac{X+z}{n+1} = 37\;\;\text{un}\;\;\frac{X}{n} = 38;\]
\[X + z = 37n + 37\;\;\text{un}\;\;X=38n.\]
Ievietojot otro vienādojumu pirmajā, iegūstam, ka \(z = 37 - n\). Līdzīgi, apzīmējot punktu summu bez sajauktā darba 10.b klasē ar \(Y\), iegūstam divus vienādojumus:\[\frac{Y}{m} = 11\;\;\text{un}\;\;\frac{Y+z}{m+1} = 12;\]
\[Y = 11m\;\;\text{un}\;\;Y+z=12m+12.\]
Ievietojot pirmo vienādojumu otrajā, iegūstam, ka \(z = m+12\). No abām sakarībām iegūstam, ka \(37 − n = m + 12\) jeb \(m+n = 25\). Tātad kopējais skolēnu skaits ir \(m+n+1 = 26\). *Piezīme.* Parādīsim piemēru, ka šāda situācija ir iespējama. Pieņemsim, ka \(n=2\) un \(m=23\), abiem "nesajauktajiem" 10.a klases skolēniem ir \(38\) punkti, visiem "nesajauktajiem" 10.b klases skolēniem ir \(11\) punkti. Sajauktajam darbam ir \(35\) punkti.