Atrisinājums

Līdzīgi kā 1. atrisinājumā, iegūstam, ka \(x,y,z \geq 1\). Nezaudējot vispārīgumu, varam pieņemt, ka \(x\) ir vislielākā vai viena no lielākajām vērtībām, tas ir, \(x \geq z\) un \(x \geq y\). Pierādīsim, ka tādā gadījumā

\[x + \frac{1}{x} \geq z + \frac{1}{z}.\]

Veicam ekvivalentus pārveidojumus:

\[\begin{aligned} \frac{x^2 + 1}{x} & \geq \frac{z^2 + 1}{z}; \\ zx^2 + z & \geq xz^2 + x; \\ (zx - 1)(x-z) \geq 0. \\ \end{aligned}\]

Tā kā \(x,z \geq 1\) un \(x \geq z\), tad iegūta patiesa nevienādība un arī pirmā nevienādība ir patiesa, jo tika veikti ekvivalenti pārveidojumi. Izmantojot nevienādību, iegūstam

\[\begin{aligned} x + \frac{1}{x} & \geq z + \frac{1}{z} = 2x^2; \\ 0 & \geq \frac{2x^3 - x^2 - 1}{x}; \\ 0 & \geq \frac{(x-1)(2x^2 + x + 1)}{x}. \\ \end{aligned}\]

Tā kā \(2x^2 + x + 1 > 0\), tad nevienādība ir patiesa tikai tad, ja \(x = 1\). Tādā gadījumā \(y = z = 1\), jo \(x \geq z\) un \(x \geq y\). Tātad dotā vienādojuma atrisinājums ir \(x = y = z = 1\).