Atrisinājums

Vienādojot vienādojumu kreiso pušu izteiksmju saucējus, iegūstam

\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2 + 1}{x} = 2y^2 \\ \frac{y^2 + 1}{y} = 2z^2 \\ \frac{z^2 + 1}{z} = 2x^2 \\ \end{array} \right.\]

Tā kā pirmā vienādojuma labās puses izteiksme \(2y^2 \geq 0\) un kreisās puses daļas skaitītājs \(x^2 + 1 > 0\), tad arī daļas saucējs \(x > 0\). Līdzīgi no pārējiem vienādojumiem iegūstam, ka \(y>0\) un \(z>0\). Ievērojam, ka pozitīvam \(x\) ir spēkā \(x + \frac{1}{x} \geq 2\), jo to var ekvivalenti pārveidot par \(x - 2 + \frac{1}{x} \geq 0\) jeb

\[\left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 \geq 0.\]

Pēdējā nevienādība izpildās, jo ir reāla skaitļa kvadrāts. Tāpēc arī \(2y^2 = x + \frac{1}{x} \geq 2\) jeb \(y \geq 1\) (un līdzīgi arī \(x \geq 1\) un \(z \geq 1\)). Saskaitot visus dotos vienādojumus, iegūstam

\[\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{y^2 + 1}{y} + \frac{z^2 + 1}{z} = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2;\]

\[\frac{2x^3 - x^2 - 1}{x} + \frac{2y^3 - y^2 - 1}{y} + \frac{2z^3 - z^2 - 1}{z} = 0.\]

Tā kā \(2x^3 - x^2 - 1 = x^3 - x^2 + x^3 - 1 = x^2(x-1) + (x-1)(x^2 + x + 1) = (x-1)(2x^2 + x + 1)\), tad iegūstam

\[\frac{(x-1)(2x^2 + x + 1)}{x} + \frac{(y-1)(2y^2 + y + 1)}{y} + \frac{(z-1)(2z^2 + z + 1)}{z} = 0.\]

Ņemot vērā, ka \(x,y,z \geq 1\), un ievērojot, ka \(2x^2 + x + 1 > 0\), \(2y^2 + y + 1 > 0\) un \(2z^2 + z + 1 > 0\) (jo \(D < 0\) un atbilstošās kvadrātfunkcijas zari vērsti uz augšu), iegūstam, ka vienādojuma un dotās sistēmas vienīgais atrisinājums ir \(x = y = z = 1\). *Piezīme.* Alternatīvi pēc tam, kad ir iegūts, ka \(x,y,z \geq 1\), šo atrisinājumu var pabeigt šādi: Simetrijas dēļ pieņemsim, ka lielākais no skaitļiem ir \(x\) (\(x \geq y\) un \(x \geq z\)). Aplūkojam vienādojumu \(2x^2 = z + \frac{1}{z}\). Ievērojam, ka, ja \(x > 1\), tad \(x^2 > x \geq z\) un \(x^2 > 1 \geq \frac{1}{z}\), tātad \(2x^2 = x^2 + x^2 > z + \frac{1}{z}\). Iegūta pretruna. Tātad \(x = 1\) un tā kā tas ir lielākais no skaitļiem, tad arī \(y = 1\) un \(z=1\).

Atrisinājums

Līdzīgi kā 1. atrisinājumā, iegūstam, ka \(x,y,z \geq 1\). Nezaudējot vispārīgumu, varam pieņemt, ka \(x\) ir vislielākā vai viena no lielākajām vērtībām, tas ir, \(x \geq z\) un \(x \geq y\). Pierādīsim, ka tādā gadījumā

\[x + \frac{1}{x} \geq z + \frac{1}{z}.\]

Veicam ekvivalentus pārveidojumus:

\[\begin{aligned} \frac{x^2 + 1}{x} & \geq \frac{z^2 + 1}{z}; \\ zx^2 + z & \geq xz^2 + x; \\ (zx - 1)(x-z) \geq 0. \\ \end{aligned}\]

Tā kā \(x,z \geq 1\) un \(x \geq z\), tad iegūta patiesa nevienādība un arī pirmā nevienādība ir patiesa, jo tika veikti ekvivalenti pārveidojumi. Izmantojot nevienādību, iegūstam

\[\begin{aligned} x + \frac{1}{x} & \geq z + \frac{1}{z} = 2x^2; \\ 0 & \geq \frac{2x^3 - x^2 - 1}{x}; \\ 0 & \geq \frac{(x-1)(2x^2 + x + 1)}{x}. \\ \end{aligned}\]

Tā kā \(2x^2 + x + 1 > 0\), tad nevienādība ir patiesa tikai tad, ja \(x = 1\). Tādā gadījumā \(y = z = 1\), jo \(x \geq z\) un \(x \geq y\). Tātad dotā vienādojuma atrisinājums ir \(x = y = z = 1\).