Atrisinājums

Tā kā pēc dotā \(AB = BC = CD\) (skat. 3. att.), tad:

• \(\sphericalangle BAC = \sphericalangle ACB = \alpha\), jo trijstūris \(BAC\) ir vienādsānu;
• \(\sphericalangle CBD = \sphericalangle CDB = \beta\), jo trijstūris \(BCD\) ir vienādsānu.

Tātad \(\sphericalangle AED = \sphericalangle BEC = 180^{\circ} - \alpha - \beta\) (trijstūra \(BEC\) iekšējo leņķu summa), no kā iegūstam, ka \(\sphericalangle EAD + \sphericalangle EDA = 180^{\circ} - \sphericalangle AED = \alpha + \beta\).

No četrstūra \(ABCD\) un trijstūru \(ABC\) un \(BCD\) iekšējo leņķu summas iegūstam, ka \(\sphericalangle BAD + \sphericalangle CDA = 360^{\circ} - \sphericalangle ABC - \sphericalangle BCD = 360^{\circ} - (180^{\circ} - 2\alpha) - (180^{\circ} - 2\beta) = 2(\alpha + \beta)\). Izmantojot bisektrises definīciju, iegūstam, ka \(\sphericalangle FAD + \sphericalangle FDA = \frac{1}{2}\sphericalangle BAD + \frac{1}{2} \sphericalangle CDA = \frac{1}{2}( \sphericalangle BAD + \sphericalangle CDA) = \alpha + \beta.\) Esam ieguvuši, ka \(\sphericalangle EAD + \sphericalangle EDA = \sphericalangle FAD + \sphericalangle FDA\), tad \(\sphericalangle EAF = \sphericalangle EAD - \sphericalangle FAD = \sphericalangle FDA - \sphericalangle EDA = \sphericalangle EDF\).

Piezīme. Uzdevuma beigās var arī izmantoto, ka ap četrstūri \(AEFD\) var apvilkt riņķa līniju, tad \(\sphericalangle EAF = \sphericalangle EDF\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz vienu un to pašu loku \(EF\).