Atrisinājums

Apskatām taisnleṇka trijstūri \(ADB\), kur \(D(m;2)\), \(AD=|5-m|\) un \(BD=|5-2|=3\) (skat. 1.att.). Izmantojot Pitagora teorēmu \(\triangle ADB\), aprēķinām nogriežṇa \(AB\) garuma kvadrātu:

\[AB^{2} = AD^{2}+BD^{2}=(5-m)^{2}+(2-5)^{2}=m^{2}-10m+34\]

{ width=150px } Līdzīgi, katram nogrieznim konstruējot taisnleṇka trijstūri, iegūstam, ka

\[\begin{gathered} AC^{2} = (5-3)^{2} + (2-m)^{2} = m^{2}-4m+8 \\ BC^{2} = (m-3)^{2} + (5-m)^{2} = 2m^{2}-16m+34 \end{gathered}\]

Lai trijstūris \(ABC\) būtu taisnlenka, divu malu garumu kvadrātu summai jābūt vienādai ar trešās malas garuma kvadrātu. Aplūkojam trīs iespējamos gadījumus. 1. Ja \(AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\), tad

\[\begin{gathered} m^{2}-10 m+34+m^{2}-4 m+8=2 m^{2}-16 m+34 \\ 2m+8=0 \\ m=-4 \end{gathered}\]

2. Ja \(AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\), tad

\[\begin{gathered} m^{2}-4 m+8+2 m^{2}-16 m+34=m^{2}-10 m+34 \\ m^{2}-5 m+4=0 \\ m_{1}=1, \quad m_{2}=4 \end{gathered}\]

3. Ja \(A B^{2}+B C^{2}=A C^{2}\), tad

\[\begin{gathered} m^{2}-10 m+34+2 m^{2}-16 m+34=m^{2}-4 m+8 \\ m^{2}-11 m+30=0 \\ m_{1}=5, \quad m_{2}=6 \end{gathered}\]

Esam ieguvuši, ka trijstūris \(ABC\) ir taisnleṇka ja \(m\) ir \(-4;1;4;5;6\).