Atrisinājums

Pieņemsim, ka \(p\) un \(q\) abi ir nepāra skaitļi. Tādā gadījumā \(p-1\) un \(q-1\) abi ir pāra skaitļi. Tā kā nepāra skaitļa kvadrāts dod atlikumu \(1\), dalot ar \(4\), tad

\[p^{q-1}+q^{p-1}+1=\left(p^{\frac{q-1}{2}}\right)^{2}+\left(q^{\frac{p-1}{2}}\right)^{2}+1 \equiv 1+1+1 \equiv 3(\bmod 4)\]

Taču neeksistē tāds vesela skaitla kvadrāts, kurš dod atlikumu \(3\), dalot ar \(4\). Līdz ar to varam secināt, ka vismaz viens no skaitlliem \(p\) vai \(q\) ir vienāds ar \(2\). Nezaudējot vispārīgumu, pieṇemsim, ka \(p=2\). Tādā gadījumā \(2^{q-1}+q+1\) ir jābūt vesela skaitļa kvadrātam. Ja \(q=2\), tad izteiksmes vērtība ir \(5\), kas nav vesela skaitļa kvadrāts. Līdz ar to varam pieņemt, ka \(q\) ir nepāra skaitlis. Pierādīsim, ka

\[\left(2^{\frac{q-1}{2}}\right)^{2}<2^{q-1}+q+1<\left(2^{\frac{q-1}{2}}+1\right)^{2}\]

Tā kā \(\left(2^{\frac{q-1}{2}}\right)^{2}=2^{q-1}<2^{q-1}+q+1\) ir patiesa nevienādība, tad atliek pierādīt, ka

\[\begin{gathered} \left(2^{\frac{q-1}{2}}+1\right)^{2}>2^{q-1}+q+1 \\ 2^{q-1}+2 \cdot 2^{\frac{q-1}{2}}+1>2^{q-1}+q+1 \\ 2^{\frac{q+1}{2}}>q \end{gathered}\]

Tā kā pie \(q=3\) nevienādība ir ekvivalenta ar \(2^{2}=4>3\) un tā kā eksponentfunkcija aug ātrāk nekā lineāra funkcija, tad varam secināt, ka pēdējā nevienādība ir patiesa. Tas nozīmē, ka skaitlis \(2^{q-1}+q+1\) atrodas starp divu secīgu veselu skaitļu kvadrātiem, tāpēc tas nevar būt vesela skaitļa kvadrāts.