Uz tāfeles uzrakstīti \(100\) reāli pozitīvi skaitļi (ne obligāti dažādi). Ja uz tāfeles ir uzrakstīti skaitļi \(x\) un \(y\) (ne obligāti dažādi), tad uz tās ir uzrakstīts arī skaitlis \(\frac{2xy}{x+y}\). Kāda var būt visu \(100\) uzrakstīto skaitlu summa, ja zināms, ka viens no uzrakstītajiem skaitliem ir \(73\)?
Pierādīsim, ka visi \(100\) uzrakstītie skaitļi ir vienādi.
Pieņemsim pretējo, ka uz tāfeles ir atrodami vismaz divi dažādi skaitļi. Sakārtosim visus skait|us nedilstošā secībā un ṇemsim divus ar mazākajām vērtībām \(a<b\) (\(a\) ir vismazākais skaitlis un \(b\) ir otrs mazākais skaitlis). Pēc uzdevuma nosacījuma uz tāfeles ir rakstīts arī skaitlis \(\frac{2 a b}{a+b}\). Parādīsim, ka \(a<\frac{2 a b}{a+b}<b\), kas būs pretruna ar to, ka \(a\) un \(b\) ir divi mazākie skaitļi.
Lai pamatotu, ka \(a<\frac{2ab}{a+b}\), reizinām abas nevienādības puses ar \(a+b>0\) un iegūstam, ka \(a^{2}+ab<2ab\) jeb \(a^{2}<ab\), kas ir patiesa nevienādība, jo \(a<b\).
Līdzīgi, lai pamatotu, ka \(\frac{2ab}{a+b}<b\), reizinām abas nevienādības puses ar \(a+b>0\) un iegūstam nevienādību \(2ab<ab+b^{2}\), kas ir ekvivalenta patiesai nevienādībai \(ab<b^{2}\), jo \(a<b\).
Tātad visi uzrakstītie skaitļi ir vienādi un to summa ir \(73 \cdot 100=7300\).
Piezīme. Skaitlis \(\frac{2ab}{a+b}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\) ir skaitļu \(a\) un \(b\) vidējais harmoniskais.