Atrisinājums

Lai pierādītu, ka ap četrstūri \(BCMY\) var apvilkt riņķa līniju, pietiek pierādīt, ka \(\sphericalangle M Y B+\sphericalangle M C B=180^{\circ}\) jeb \(\sphericalangle M C B=180^{\circ}-\sphericalangle M Y B\). Tā kā \(\sphericalangle M Y B=180^{\circ}-\sphericalangle A Y B\) (blakusleṇku īpašība), tad jāpierāda, ka \(\sphericalangle A Y B=\sphericalangle M C B\).

Ar \(N\) apzīmēsim malas \(B C\) viduspunktu, bet ar \(T-\) taišņu \(AB\) un \(DN\) krustpunktu. Tā kā \(\sphericalangle B N T=\sphericalangle C N D\) (krustleņķi), \(BN=NC\) un \(\sphericalangle N B T=\sphericalangle N C D\) (iekšējie škērsleņķi pie paralēlām taisnēm \(AB\) un \(CD\) ), tad \(\triangle B N T=\triangle C N D\) pēc pazīmes \(\ell m \ell\). Tādā gadījumā to atbilstošās malas \(BT\) un \(CD\) ir vienādas, tātad

\[\frac{AB}{BT}=\frac{AB}{CD}\]

Ievērojam, ka \(\triangle BAX \sim \triangle DCX\) pēc pazīmes \(\ell \ell\), tātad

\[\frac{AB}{CD}=\frac{AX}{CX}\]

Tā kā \(YX | CD\), tad no Talesa teorēmas iegūstam, ka

\[\frac{A X}{X C}=\frac{A Y}{Y D}\]

No vienādībām iegūstam, ka

\[\frac{A B}{B T}=\frac{A Y}{Y D}\]

Tātad \(\triangle YAB \sim \triangle DAT\) pēc pazīmes \(m \ell m\) un \(YB | DT\), tātad \(\sphericalangle AYB=\sphericalangle NDA\) kā kāpšļu leņķi. Tā kā \(\sphericalangle N D A=\sphericalangle M C B\) simetrijas dēļ vienādsānu trapecē, tad \(\sphericalangle AYB=\sphericalangle NDA=\sphericalangle MCB\). Tātad ap četrstūri \(BCMY\) var apvilkt riņķa līniju.