Atrisinājums

Mazākā diferences vērtība ir \(45\), kuru var iegūt, piemēram, ja dota aritmētiskā progresija \(127;172;217\). Pamatosim, ka mazāku diferences vērtību nevar iegūt.

Vispirms pierādīsim, ka trīs doto skaitļu pierakstā ir izmantoti trīs atšķirīgi cipari.

Ja būtu izmantots tikai viens cipars, tad nebūtu iespējams izveidot trīs atšķirīgus skaitļus.

Pieņemsim, ka skaitļi veidoti no diviem atšķirīgiem cipariem \(a\) un \(b\) (\(a<b\)). Tad iespējami divi atšķirīgi trīs skaitļu komplekti: \(\overline{aab}<\overline{aba}<\overline{baa}\) vai \(\overline{abb}<\overline{bab}<\overline{bba}\). Tā kā šie ir vienīgie skaitļi, ko iespējams izveidot, tad skaitli tieši šādā secībā arī ir aritmētiskās progresijas trīs secīgi locekļi. Aprēkināsim otrā un pirmā locekļa starpību \(\Delta_{1}\) un trešā un otrā locekļa starpību \(\Delta_{2}\). Pēc aritmētiskās progresijas īpašībām \(\Delta_{1}=\Delta_{2}\). Apskatām katru gadijumu:

• Ja \(\overline{aab} < \overline{aba} < \overline{baa}\), tad \(\Delta_{1}=9(b-a)\) un \(\Delta_{2}=90(b-a)\). No tā, ka \(\Delta_{1}=\Delta_{2}\), izriet, ka \(b=a\) (pretruna).
• Ja \(\overline{abb}<\overline{bab}<\overline{bba}\), tad \(\Delta_{1}=90(b-a)\) un \(\Delta_{2}=9(b-a)\). No tā, ka \(\Delta_{1}=\Delta_{2}\), izriet, ka \(b=a\) (pretruna).

Tātad dotie skaitļi ir veidoti no trīs dažādiem cipariem.

Pieņemsim, ka šie cipari ir \(a, b\) un \(c\) (\(a<b<c\)). No šiem cipariem iespējams izveidot sešus skaitļus:

\[\overline{abc}<\overline{acb}<\overline{bac}<\overline{bca}<\overline{cab}<\overline{cba}\]

Aprēḳinām katru divu blakus skaitļu starpību:

\[\begin{gathered} \Delta_{1}=\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b) \\ \Delta_{2}=\overline{bac}-\overline{acb}=90(b-a)-9(c-b) \\ \Delta_{3}=\overline{bca}-\overline{bac}=9(c-a) \\ \Delta_{4}=\overline{cab}-\overline{bca}=90(c-b)-9(b-a) \\ \Delta_{5}=\overline{cba}-\overline{cab}=9(b-a) \end{gathered}\]

Mazāko iespējamo diferenci iegūsim, ja trīs skaitļi sešu skaitļu virknē būs pēc kārtas. Aplūkosim, kāda var būt trešā un pirmā meklētā skaitļa starpība. Šī starpība ir vienāda ar divu secīgu \(\Delta_{i}\) summu:

\[\begin{gathered} \Delta_{1}+\Delta_{2}=90(b-a) \geq 90 \\ \Delta_{2}+\Delta_{3}=90(b-a)-9(c-b)+9(c-a)=99(b-a) \geq 99 \\ \Delta_{3}+\Delta_{4}=90(c-b)-9(b-a)+9(c-a)=99(c-b) \geq 99 \\ \Delta_{4}+\Delta_{5}=90(c-b) \geq 90 \end{gathered}\]

Tātad divu diferenču mazākā iespējamā vērtība ir \(90\). Līdz ar to esam pamatojuši, ka mazākā diference ir \(90:2=45\). *Piezīme.* Aplūkosim, kā var atrast tādas \(a, b\) un \(c\) vērtības, lai \(\Delta_{1}=\Delta_{2}\).

\[\Delta_{1}=\Delta_{2} \quad \Rightarrow \quad 9(c-b)=90(b-a)-9(c-b) \quad \Rightarrow \quad c-b=5(b-a)\]

Tātad \(b-a=1\) un \(c-b=5\), jo \(a, b\) un \(c\) ir cipari. Derīgas \((a;b;c)\) vērtības ir \((1;2;7),(2;3;8)\) un \((3;4;9)\), bet aritmētiskās progresijas locekļi ir attiecīgi \(127,172,217;238,283,328;349,394,439\). Līdzīgu rezultātu var iegūt, ja meklē \(a\), \(b\) un \(c\) vērtības, kurām \(\Delta_{4}=\Delta_{5}\). Tad \(c-b=1\) un \(b-a=5\) un derīgas \((a;b;c)\) vērtības ir \((1;6;7)\), \((2;7;8)\) un \((3;8;9)\), bet aritmētiskās progresijas locekļi ir attiecīgi \(671,716,761\); \(782,827,872\); \(893,938,983\).