Atrisinājums

Apzīmējam \(\sphericalangle BAD=\alpha\) un \(\sphericalangle BCD=2 \alpha\). Tad \(\sphericalangle BAC=\alpha-30^{\circ}\).

No izliekta četrstūra iekšējo leṇķu summas iegūstam, ka

\[\sphericalangle BAD+\sphericalangle ABC+\sphericalangle BCD+\sphericalangle ADC=360^{\circ};\]

\[3 \alpha+3 \sphericalangle A D C=360^{\circ} \Rightarrow \alpha+\sphericalangle A D C=120^{\circ}\]

Tad \(\sphericalangle ADC=120^{\circ}-\alpha\) un \(\sphericalangle ABC=240^{\circ}-2\alpha\). No trijstūra \(ABC\) iegūstam, ka

\[\sphericalangle BCA=180^{\circ}-\sphericalangle A B C-\sphericalangle B A C = 180^{\circ}-\left(240^{\circ}-2 \alpha\right)-\left(\alpha-30^{\circ}\right) = \alpha-30^{\circ}=\sphericalangle BAC.\]

Tātad \(\triangle ABC\) ir vienādsānu un \(AB=BC\). No punkta \(C\) pret malu \(AD\) novelkam perpendikulu \(CE\). Tad \(\sphericalangle ACE=60^{\circ}\) un

\[\sphericalangle DCE=\sphericalangle BCD-\sphericalangle BCA-\sphericalangle ACE = 2\alpha-\left(\alpha-30^{\circ}\right)-60^{\circ}=\alpha-30^{\circ}.\]

Vienādsānu trijstūrī \(ABC\) pret malu \(AC\) novelkam augstumu \(BF\), kas ir arī mediāna, tāpēc \(AF=\frac{1}{2} AC\). No \(\triangle AEC\) iegūstam, ka \(CE=\frac{1}{2} AC\) kā katete pret \(30^{\circ}\) leņķi. Līdz ar to \(\triangle AFB=\triangle CED\) pēc pazīmes "\(\ell m \ell\) ", jo \(\sphericalangle BAF=\sphericalangle DCE=\alpha-30^{\circ}\), \(AF=CE\) un \(\sphericalangle AFB=\sphericalangle CED=90^{\circ}\). Tātad \(AB=CD\) kā atbilstošās malas. Tā kā \(BC=AB=CD\), tad trijstūris \(BCD\) ir vienādsānu un \(\sphericalangle C B D=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\sphericalangle B C D\right)=90^{\circ}-\alpha\). Līdz ar to \(\sphericalangle COD=\sphericalangle BCA+\sphericalangle CBD = \alpha-30^{\circ}+90^{\circ}-\alpha=60^{\circ}\) kā \(\triangle BOC\) ārējais leṇkis.