LV.VOL.2022.9.2 lv
Vienādsānu trijstūrī \(ABC\) virsotnes leņķis \(\sphericalangle ABC=\beta\). Ar centru punktā \(A\) un rādiusu \(AC\) novilkta riņķa līnija, kas krusto malas \(AB\) un \(BC\) attiecīgi punktos \(D\) un \(E\). Zināms, ka \(\sphericalangle ADE=12 \beta\). Aprēķināt \(\beta\) lielumu!
Atrisinājums
Tā kā \(\triangle ABC\) ir vienādsānu, tad \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle BCA=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\sphericalangle ABC\right)=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\beta\right)\). Ievērojam, ka \(AD=AE=AC\) kā rādiusi (skat. 1.att.), tātad \(\triangle DAE\) un \(\triangle CAE\) ir vienādsānu trijstūri. Izsakām leņķus:
- \(\triangle CAE=180^{\circ }-2 \sphericalangle BCA=180^{\circ }-2 \cdot \frac{1}{2}\left(180^{\circ }-\beta \right )=\beta\) (no \(\triangle CAE\));
- \(\sphericalangle DAE=\sphericalangle BAC-\sphericalangle CAE=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\beta\right)-\beta=90^{\circ}-\frac{3 \beta}{2}\);
- \(\sphericalangle DAE=180^{\circ}-2 \sphericalangle ADE=180^{\circ}-2 \cdot 12 \beta=180^{\circ}-24\beta\) (no \(\triangle DAE\)).
Līdz ar to iegūstam vienādojumu:
\[90^{\circ}-\frac{3 \beta}{2}=180^{\circ}-24 \beta ; \quad 180^{\circ}-3 \beta=360^{\circ}-48 \beta ; \quad 45 \beta=180^{\circ} ; \quad \beta=4^{\circ}\]
