Pierādīt, ka visiem reāliem skaitļiem \(x\) un \(y\) ir spēkā nevienādība \(x^{2}+5y^{2}+4xy-6y+9 \geq 0\).
Veicam ekvivalentus pārveidojumus:
\[\begin{gathered} \left(x^{2}+4xy+4y^{2}\right)+\left(y^{2}-6y+9\right) \geq 0 \\ (x+2y)^{2}+(y-3)^{2} \geq 0 \end{gathered}\]
Tā kā skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs, tad pēdējās nevienādības kreisajā pusē ir divu nenegatīvu skaitļu summa, kas arī ir nenegatīvs skaitlis. Tātad pēdējā nevienādība ir patiesa. Tā kā tika veikti ekvivalenti pārveidojumi, tad arī dotā nevienādība ir patiesa visiem reāliem skaitļiem \(x\) un \(y\).