Atrisinājums

Aplūkosim, cik garas var būt katra daudzstūra projekcijas uz divām dotā kvadrāta perpendikulārajām malām. Abas projekcijas ir nogriežṇi, tās apzīmēsim ar \(p_{x}\) un \(p_{y}\) (skat. 12.att.).

Tā kā katrs daudzstūris satur \(9\) rūtiņas, tad projekciju garumu reizinājums būs vismaz \(9\) rūtiņas, tas ir, \(p_{x} \cdot p_{y} \geq 9\).

Noteiksim, kāda ir mazākā iespējamā projekciju garumu summa. No nevienādības starp vidējo aritmētisko un vidējo ǵeometrisko iegūstam, ka

\[\frac{p_{x}+p_{y}}{2} \geq \sqrt{p_{x} \cdot p_{y}} \geq \sqrt{9}=3.\]

Tātad \(p_{x}+p_{y} \geq 6\), pie tam vienādība izpildās tikai tad, ja \(p_{x}=p_{y}=3\). Tā kā katrā rindā un katrā kolonnā ir tieši trīs dažādu krāsu rūtinas, tad katrā rindā projekciju summa ir \(1+1+1=3\) un arī katrā kolonnā projekciju summa ir \(1+1+1=3\). Tātad visu projekciju garumu kopsumma ir \(3 \cdot 9(\) rindas \()+3 \cdot 9\) (kolonnas \()=54\). Līdz ar to katrai no deviņu daudzstūru projekciju garumu summām jābūt \(6\) (pretējā gadīumā, ja kaut viena daudzstūra projekciju garumu summa pārsniegtu \(6\), tad visu projekciju garumu summa pārsniegtu \(9 \cdot 6=54\) ). Tātad visi daudzstūri ir kvadrāti ar izmēriem \(3 \times 3\) rūtiņas.