Atrisinājums

No kubu summas formulas \(a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)\) redzams, ka \(a^{3}+b^{3}\) dalās ar \((a+b)\). Apskatīsim divus iespējamos gadījumus.

• Ja ir pāra skaits secīgu naturālu skaitļu, tas ir, \(2k\) secīgi naturāli skaitli, kur \(k=1,2,\ldots \), tad šo skaitlu summu var uzrakstīt kā

\[S=(n-k+1)^{3}+(n-k+2)^{3}+\cdots+(n+k-1)^{3}+(n+k)^{3}.\]

Sagrupējot pirmo saskaitāmo ar pēdējo, otro saskaitāmo - ar pirmspēdējo utt., iegūstam, ka \((n-k+1)^{3}+(n+k)^{3}\) dalās ar \(n-k+1+n+k=2n+1\), \((n-k+2)^{3}+(n+k-1)^{3}\) dalās ar \(n-k+2+n+k-1=2 n+1\) Tā kā visas šīs \(k\) summas dalās ar \((2n+1)\), tad arī visu \(2k\) kubu summa dalās ar \((2n+1)\), līdz ar to nav pirmskaitlis. * Ja ir nepāra skaits secīgu naturālu skaitļu, tas ir, \((2k+1)\) secīgi naturāli skaitli, kur \(k=1,2,\ldots \), tad šo skaitļu summu var uzrakstīt kā

\[S=(n-k)^{3}+(n-(k-1))^{3}+\ldots +(n-1)^{3}+n^{3}+(n+1)^{3}+\ldots +(n+(k-1))^{3}+(n+k)^{3}.\]

Ievērojam, ka pašā vidū šiem saskaitāmajiem atrodas skaitlis \(n^{3}\), kas dalās ar \(n\). Pārējos saskaitāmos sagrupējam tāpat kā iepriekš, tas ir, sagrupējam pirmo saskaitāmo ar pēdējo, otro saskaitāmo - ar pirmspēdējo utt., iegūstam, ka \((n-k)^{3}+(n+k)^{3}\) dalās ar \(n-k+n+k=2n\) \((n-(k-1))^{3}+(n+(k-1))^{3}\) dalās ar \(n-k+1+n+k-1=2n\) Tā kā visas šīs summas dalās ar \(2n\), un vidējais saskaitāmais \(n^{3}\) dalās ar \(n\), tad arī visu \((2k+1)\) kubu summa dalās ar \(n\), līdz ar to nav pirmskaitlis.

Piezīme. Uzdevumu var atrisināt arī ar matemātiskās indukcijas metodi.