Atrisinājums

No punkta \(E\) novelkam perpendikulus pret malām \(BC, AB\) un \(AD\), to pamatus attiecīgi apzīmējam ar \(E_{1}, E_{2}, E_{3}\) (skat. 10.att.). Līdzīgi no punkta \(F\) novelkam perpendikulus pret malām \(BC, CD, AD\) un to pamatus attiecīgi apzīmējam ar \(F_{1}, F_{2}, F_{3}\).

Tā kā katrs leņķa bisektrises punkts atrodas vienādā attālumā no leņķa malām, tad \(EE_{1}=EE_{2}\) un \(EE_{2}=EE_{3}\). Līdzīgi iegūstam, ka \(FF_{1}=FF_{2}=FF_{3}\).

Taisnleṇka trijstūri \(EE_{1}B\) un \(EE_{2}B\) ir vienādi (jo ir vienāda katete un hipotenūza), tāpēc \(E_{1}B=E_{2}B\) kā atbilstošās malas vienādos trijstūros. Līdzīgi iegūstam, ka \(E_{2}A=E_{3}A, F_{1}C=F_{2}C\) un \(F_{2}D=F_{3}D\).

Četrstūris \(E_{1}F_{1}F_{3}E_{3}\) ir taisnstūris un \(EF\) ir tā viduslīnija tāpēc \(E_{1}F_{1}=E_{3}F_{3}=EF\).

• Ja uz nogriežṇa \(BC\) punkti atrodas secībā \(B, E_{1}, F_{1}, C\) (skat. 10.att.; attiecīgi uz \(AD\) tad punkti atrodas secībā \(\left.A, E_{3}, F_{3}, D\right. \)), tad

\[\frac{BC+AD-AB-CD}{2}=\frac{BE_{1}+E_{1}F_{1}+F_{1}C+AE_{3}+E_{3}F_{3}+F_{3}D-BE_{2}-E_{2}A-CF_{2}-F_{2}D}{2}=\frac{E_{1}F_{1}+E_{3}F_{3}}{2}=EF\]

- Ja uz nogriežṇa \(BC\) punkti atrodas secībā \(B, F_{1}, E_{1}, C\) (skat. 11.att.; attiecīgi uz \(AD\) tad punkti ir šādā secībā: \(\left.A, F_{3}, E_{3}, D\right. \)), tad

\[\frac{BC+AD-AB-CD}{2}=\frac{BE_{1}-E_{1}F_{1}+F_{1}C+AE_{3}-E_{3}F_{3}+F_{3}D-BE_{2}-E_{2}A-CF_{2}-F_{2}D}{2}=\frac{E_{1}F_{1}+E_{3}F_{3}}{2}=EF\]