Atrisinājums

Pamatosim, ka amizanti nav visi pirmskaitli, kā arī skaitlis \(4\).

Ja \(p\) ir pirmskaitlis, tad pirmo \(p\) skaitļu reizinājums \(1 \cdot 2 \cdot \ldots p\) nedalās ar \(p^{2}\), jo neviens no pirmajiem \(p-1\) skaitliem nedalās ar \(p\).

Pirmo \(4\) skaitļu reizinājums \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\) nedalās ar \(4^{2}\), tātad skaitlis \(4\) nav amizants.

Pierādīsim, ka visi pārējie skaitli ir amizanti. Ja \(N\) ir salikts skaitlis, kas ir lielāks nekā \(4\), tad to var izteikt kā reizinājumu \(N=a \cdot b\), kur \(a \geq 2\) un \(b \geq 3\). Tātad \(N \geq 2 b\) un \(N \geq 3 a\). No \(N\) pēc kārtas sekojošiem skaitļiem viens noteikti dalās ar \(N\). Tā kā \(2 b \leq N\), tad vēl vismaz viens cits no šiem \(N\) pēc kārtas sekojošiem skaitļiem dalās ar \(b\). Tā kā \(3a \leq N\), tad vēl vismaz divi citi no šiem \(N\) pēc kārtas sekojošiem skaitļiem dalās ar \(a\) (tas nozīmē, ka kāds no šiem diviem skaitliem, kas dalās ar \(a\), noteikti nesakrīt ar to skaitli, kas dalās ar \(b\) ). Tātad \(N\) pēc kārtas sekojošu skaitļu reizinājums dalās ar \(N \cdot b \cdot a=N^{2}\).