Atrisinājums

Atradīsim trijstūra malu garumus. Ja kāds no tiem ir racionāls skaitlis, tad tas ir skaitļa \(3480\) dalītājs. Ievērojot, ka \(3480=2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29\), uzminam vienu sakni \(x=24\).

Sagrupējot vienādojuma locekļus, iegūstam:

\[\begin{aligned} x^{3}-54x^{2}+865x-3480=x^{3}-24x^{2}-30x^{2}+720x+145x-3480= \\ = & x^{2}(x-24)-30x(x-24)+145(x-24)=(x-24)\left(x^{2}-30x+145\right) \end{aligned}\]

Atrisinot kvadrātvienādojumu \(x^{2}-30x+145=0\), iegūstam, ka tā saknes ir \(15-\sqrt{80}\) un \(15+\sqrt{80}\). Tātad trijstūra malu garumi ir \(24,15+\sqrt{80}\) un \(15-\sqrt{80}\). Lai aprēķinātu trijstūra laukumu, izmantosim Hērona formulu. Trijstūra pusperimetrs ir \(\frac{1}{2}(24+15+\sqrt{80}+15-\sqrt{80})=27\) un tātad tā laukums ir

\[\begin{gathered} S=\sqrt{27(27-24)(27-15-\sqrt{80})(27-15+\sqrt{80})}= \\ =\sqrt{27 \cdot 3 \cdot(12-\sqrt{80})(12+\sqrt{80})}=\sqrt{27 \cdot 3 \cdot 64}=72\left(\mathrm{~cm}^{2}\right) \end{gathered}\]