Atrisinājums

Vispirms pierādīsim lemmu: ja diviem trijstūriem ir vienādas divas malas un mediānas pret trešo malu, tad šie trijstūri ir vienādi.

\(Pierādījums.\) Pieņemsim, ka ir doti divi trijstūri \(A_{1} B_{1} C_{1}\) un \(A_{2} B_{2} C_{2}\), kuros novilktas mediānas \(B_{1} M_{1}\) un \(B_{2} M_{2}\) un kuros \(A_{1} B_{1}=A_{2} B_{2}, B_{1} C_{1}=B_{2} C_{2}\) un \(B_{1} M_{1}=B_{2} M_{2}\). Papildinām trijstūri \(A_{1} B_{1} C_{1}\) līdz paralelogramam: uz taisnes \(B_{1} M_{1}\) atliekam punktu \(D_{1}\) tā, ka \(B_{1} D_{1}=2 B_{1} M_{1}\) (skat. 6.att.). Tā kā četrstūra \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) diagonāles krustojoties dalās uz pusēm, tad šis četrstūris ir paralelograms. Analogi izdarām arī ar trijstūri \(A_{2} B_{2} C_{2}\).

Trijstūri \(A_{1} B_{1} D_{1}\) un \(A_{2} B_{2} D_{2}\) ir vienādi pēc pazīmes \(\mathrm{mmm}\), jo \(A_{1} B_{1}=A_{2} B_{2}, A_{1} D_{1}=B_{1} C_{1}=B_{2} C_{2}=A_{2} D_{2}\) un \(B_{1} D_{1}=2 B_{1} M_{1}=2 B_{2} M_{2}=B_{2} D_{2}\). Tātad \(\sphericalangle A_{1} B_{1} M_{1} =\sphericalangle A_{2} B_{2} M_{2}\) (vienādos trijstūros attiecīgie leņķi ir vienādi). Analogi no trijstūru \(B_{1} C_{1} D_{1}\) un \(B_{2} C_{2} D_{2}\) vienādības izriet, ka \(\sphericalangle M_{1} B_{1} C_{1}=\sphericalangle M_{2} B_{2} C_{2}\).

Tātad \(\sphericalangle A_{1} B_{1} C_{1}=\sphericalangle A_{1} B_{1} M_{1}+\sphericalangle M_{1} B_{1} C_{1}=\sphericalangle A_{2} B_{2} M_{2}+\sphericalangle M_{2} B_{2} C_{2}=\sphericalangle A_{2} B_{2} C_{2}\), no kā izriet, ka trijstūri \(A_{1} B_{1} C_{1}\) un \(A_{2} B_{2} C_{2}\) ir vienādi pēc pazīmes \(m \ell m\). Lemma pierādīta.

Tagad dotajā uzdevumā vidusperpendikulu krustpunktu apzīmēsim ar \(P\) (skat. 7.att.). Trijstūri \(PBA\) un \(PCD\) ir vienādi pēc iepriekš pierādītās lemmas, jo no vidusperpendikulu īpašībām vienādas ir to divas malas \(PB=PC\) un \(PA=PD\), un vienādas ir to mediānas \(PM=PN\). Tā kā vienādos trijstūros atbilstošie elementi ir vienādi, tad \(AB=CD\).