Atrisinājums

Atradīsim trijstūra malu garumus. Ja tie ir naturāli skaitļi, tad tiem jābūt brīvā locekla \(2040\) dalītājiem. Ievērojot, ka \(2040=2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17\), var uzminēt sakni, piemēram, \(x=17\).

Sagrupējot vienādojuma locekļus, iegūstam arī pārējās saknes:

\[\begin{gathered} x^{3}-40 x^{2}+511 x-2040=x^{3}-17 x^{2}-23 x^{2}+391 x+120 x-2040= \\ =x^{2}(x-17)-23 x(x-17)+120(x-17)=(x-17)\left(x^{2}-23 x+120\right)= \\ =(x-17)(x-15)(x-8). \end{gathered}\]

Tātad dotā vienādojuma saknes un attiecīgi arī trijstūra malu garumi ir \(8,15,17\). Tā kā \(8^{2}+15^{2}=17^{2}\), tad dotais trijstūris ir taisnleņķa trijstūris un tā laukums ir \(\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15=60\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)\).