Atrisinājums

Atņemot no pirmā vienādojuma otro un veicot ekvivalentus pārveidojumus, iegūstam

\[\begin{gathered} x^{2}-y^{2}=y-x; \\ (x-y)(x+y)+(x-y)=0; \\ (x-y)(x+y+1)=0. \end{gathered}\]

Tātad \(x-y=0\) vai \(x+y+1=0\). - Apskatām gadījumu, kad \(x-y=0\). Izsakām \(y=x\) un ievietojam to dotās vienādojumu sistēmas pirmajā vienādojumā. Iegūstam kvadrātvienādojumu \(x^{2}-x-2=0\), kuram ir divas saknes \(x_{1}=-1\) un \(x_{2}=2\). Tad attiecīgi arī \(y_{1}=-1\) un \(y_{2}=2\). Pārbaudot redzam, ka skaitļu pāri \((-1; -1)\) un \((2; 2)\) der. - Apskatām gadījumu, kad \(x+y+1=0\). Izsakām \(y=-1-x\) un ievietojam to dotās vienādojumu sistēmas pirmajā vienādojumā. Iegūstam \(x^{2}+x-1=0\), kuram ir divas saknes \(x_{3}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) un \(x_{4}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\). Tad attiecīgi \(y_{3}=-1-x_{3}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\) un \(y_{4}=-1-x_{4}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\). Pārbaudot redzam, ka \(\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2} ; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)\) un \(\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2} ; \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\) apmierina doto vienādojumu sistēmu. Tātad dotajai vienādojumu sistēmai ir \(4\) atrisinājumi:

\[(-1; -1); \quad(2; 2); \quad\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right); \quad\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\]