Atrast visus naturālu skaitļu pārus \((m; n)\), kuriem ir spēkā vienādība \(m^{5}+5n^{4}=81m\).
Pārveidojam doto vienādību:
\[\begin{gathered} 5n^{4}=81m-m^{5} \\ 5n^{4}=m\left(9+m^{2}\right)(3+m)(3-m) \end{gathered}\]
Tā kā \(m\) un \(n\) ir naturāli skaitļi un iegūtās vienādības kreisās puses izteiksme ir pozitīva, tad \(m=1\) vai \(m=2\). Apskatām abus gadījumus: - ja \(m=1\), tad \(5n^{4}=1 \cdot 10 \cdot 4 \cdot 2\) jeb \(n^{4}=16\), no kā iegūstam, ka \(n=2\) (vērtība \(n=-2\) neder, jo nav naturāls skaitlis); - ja \(m=2\), tad \(5n^{4}=2 \cdot 13 \cdot 5 \cdot 1\) jeb \(n^{4}=26\), no kā iegūstam, ka naturālu atrisinājumu nav. Līdz ar to esam ieguvuši, ka vienīgais derīgais skaitļu pāris ir \((1; 2)\).