Atrisinājums

Vienīgais šāds pāris ir \((0; 0)\), kurš der, jo \(0^{18}+0^{18}+0^{18}=0\). Pierādīsim, ka neviens cits pāris neder. Pieņemsim, ka kāds skaitļu pāris \((a; b)\) atbilst uzdevuma nosacījumiem. Ja gan \(a\), gan \(b\) dalās ar \(19^{k}\), tad arī skaitļu pāris \(\left(\frac{a}{19^{k}}; \frac{b}{19^{k}}\right)\) atbilst uzdevuma nosacījumiem. Tādā veidā mēs varam iegūt jaunu skaitļu pāri \((a; b)\), kurš atbilst uzdevuma nosacījumiem un kurā vismaz viens no skaitļiem nedalās ar \(19\).

Ievērosim, ka pēc mazās Fermā teorēmas, ja \(x\) nedalās ar \(19\), tad \(x^{18}=1(\bmod 19)\). Tātad katrs no trim summas locekļiem pēc moduļa \(19\) ir vai nu \(0\), vai \(1\). Ievērosim arī, ka, ja vismaz viens no skaitļiem \((a; b)\) nedalās ar \(19\), tad vismaz divi no trim skaitļiem \(19a+b; a+b; a+19b\) nedalās ar \(19\). Līdz ar to šīs summas vērtība pēc moduļa \(19\) ir vai nu \(2\), vai \(3\).

Bet ne \(2\), ne \(3\) pēc moduļa \(19\) nevar būt naturāla skaitļa kvadrāts (pārbaude ar tabulu) - pretruna.