Dota ģeometriskā progresija \(y_{1}; y_{2}; y_{3}; y_{4}; y_{5}; y_{6}\), kuras locekļi ir pozitīvi skaitļi. Zināms, ka \(y_{4}+y_{3}-y_{2}-y_{1}=15\). Kāda ir \(y_{5}+y_{6}\) mazākā iespējamā vērtība?
Pierādīsim, ka \(y_{5}+y_{6}\) mazākā iespējamā vērtība ir \(60\).
Vispirms parādīsim, ka \(y_{5}+y_{6} \geq 60\).
Apzīmēsim ģeometriskās progresijas kvocientu ar \(q>1\). No dotā izriet, ka \(y_{1} \cdot\left(q^{3}+q^{2}-q-1\right)=15\) jeb
\[\begin{equation*} y_{1} \cdot(q+1)=\frac{15}{q^{2}-1} \tag{1} \end{equation*}\]
Mums jāpierāda, ka \(y_{1}\left(q^{5}+q^{4}\right) \geq 60\) jeb ka \(q^{4} \geq \frac{60}{x_{1} \cdot(q+1)}\). levietojot šajā nevienādībā \((1)\), iegūstam, ka \(q^{4} \geq 4 \cdot\left(q^{2}-1\right)\), kas ir patiesa nevienādība, jo \(q^{4}-4q^{2}+4=\left(q^{2}-2\right)^{2} \geq 0\). Atliek parādīt, ka vērtība \(y_{5}+y_{6}=60\) ir iegūstama. Lai tas tā būtu, visām nevienādībām ir jākļūst par vienādībām, tātad \(q=\sqrt{2}\) un \(y_{1} \cdot\left(\sqrt{2}^{3}+\sqrt{2}^{2}-\sqrt{2}-1\right)=15\) jeb \(y_{1}=15(\sqrt{2}-1)\). Redzams, ka šajā gadījumā tik tiešām \(y_{5}+y_{6}=y_{1}\left(q^{5}+q^{4}\right)=15(\sqrt{2}-1)(4 \sqrt{2}+4)=60\).