Atrast visus naturālos skaitļus \(B\) intervālā \(1 < B < 99\), kuriem izpildās šāda īpašība: jebkuram naturālam skaitlim \(C\), kuram \(B < C < 100\) ir spēkā \(B \leq V \leq C\), kur \(V=\frac{1+B+C+100}{4}\) ir skaitļu \(1, B, C, 100\) vidējais aritmētiskais.
Pēc dotā \(1 < B < C < 100\). Tā kā \(B < C\), tad var pieņemt, ka \(C=B+x\), kur \(1 \leq x \leq 99-B\). Līdz ar to iegūstam, ka četru doto skaitļu vidējais aritmētiskais ir
\[V=\frac{1+B+B+x+100}{4}=\frac{2B+x+101}{4}\]
Ņemot vērā, ka jāizpildās nevienādībām \(B \leq V \leq C\), iegūstam\[\begin{gathered} B \leq \frac{2B+x+101}{4} \leq B+x \\ 4B \leq 2B+x+101 \leq 4B+4x \end{gathered}\]
Pārrakstot iegūto divkāršo nevienādību kā nevienādību sistēmu, iegūstam\[\left\{\begin{array} { l } { 4B \leq 2B+x+101 } \\ { 2B+x+101 \leq 4B+4x } \end{array} \quad \text { jeb } \quad \left\{\begin{array}{l} 2B \leq 101+x \\ 2B \geq 101-3x \end{array}\right.\right.\]
Ievērojam, ja nevienādība izpildās pie \(x=1\), tad tā izpildās arī pie lielākiem \(x\). Tāpēc tas, ka šī nevienādība izpildās visiem \(x \geq 1\) ir ekvivalents apgalvojumam, ka tā izpildās pie \(x=1\). Tātad\[\left\{\begin{array} { l } { 2B \leq 102 } \\ { 2B \geq 98 } \end{array} \text { jeb } \quad \left\{\begin{array}{l} B \leq 51 \\ B \geq 49 \end{array}\right.\right.\]
Līdz ar to esam ieguvuši, ka jebkurai derīgai \(C\) vērtībai ir spēkā sakarība \(B \leq V \leq C\), ja \(B\) ir \(49\), \(50\) vai \(51\).