Atrisinājums

Pārveidojam doto izteiksmi un lietojam nevienādību \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2\) :

\[(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y} \geq 3+2+2+2=9\]

Tātad dotās izteiksmes mazākā vērtība ir \(9\) un to var iegūt, ja \(x=y=z\). Lai atrastu izteiksmes \(F\) maksimālo vērtību, vispirms pierādīsim lemmu. Lemma. Funkcija \(f(x)=x+\frac{k}{x}, k > 0\), dilst pa kreisi no tās minimuma punkta \(x=\sqrt{k}\) un aug pa labi no tā, tas ir, \(0 < u < v \leq \sqrt{k} \Rightarrow f(u) > f(v)\) un \(\sqrt{k} \leq u < v \Rightarrow f(u) < f(v)\) *Pierādīums.* Apskatām abus gadījumus.

\[\begin{aligned} & f(u) > f(v) \quad \Leftrightarrow \quad \frac{k}{u}-\frac{k}{v} > v-u \Leftrightarrow \frac{k}{uv} > 1 \quad \Leftrightarrow \quad k > uv \\ & f(u) < f(v) \Leftrightarrow \frac{k}{u}-\frac{k}{v} < v-u \Leftrightarrow \frac{k}{uv} < 1 \quad \Leftrightarrow \quad k < uv \end{aligned}\]

Saskaņā ar Lemmu fiksētiem \(y, z \in[1 ; 2020]\), funkcija

\[F(x)=x\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{1}{x}(y+z)+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+3\]

maksimālo vērtību sasniedz intervāla galapunktā, tas ir, kad \(x=1\) vai \(x=2020\). Simetrijas dēļ tas pats attiecas uz gadījumiem, kad fiksējam \(x, y\) un \(x, z\). Tātad izteiksme \(F\) maksimālo vērtību sasniedz tad, kad \(x, y, z \in{1 ; 2020}\). Apskatām izteiksmes \(F\) vērtību, ja \(x, y, z \in{1 ; 2020}\). - \(x=y=z=1\) vai \(x=y=z=2020\), tad \(F(x ;x ;x)=9\) - \(x=y=1\) un \(z=2020\), tad \(F(1 ;1 ;2020)=2022 \cdot 2 \frac{1}{2020}=\frac{2022 \cdot 4041}{2020}\) - \(x=y=2020\) un \(z=1\), tad \(F(2020 ;2020 ;1)=4041 \cdot 1 \frac{2}{2020}=\frac{4041 \cdot 2022}{2020}\) Līdz ar to dotās izteiksmes vislielākā vērtība ir \(\frac{4041 \cdot 2022}{2020}\).