Atrisinājums

a) Nē, saknes nevar būt veseli skaitļi. Ievērojam, ka \(c \neq 0\), jo pretējā gadījumā \(\overline{abc}\) nav pirmskaitlis. Tas nozīmē, ka \(0\) nav vienādojuma sakne. Ja \(x \geq 0\), tad \(a x^{2}+b x+c \geq c>0\). Tātad vienādojumam var būt tikai negatīvas saknes. Apzīmējot saknes ar \(-x_{1},-x_{2}\) un sadalot kreisās puses izteiksmi reizinātājos, iegūstam

\[ax^{2}+bx+c=a\left(x+x_{1}\right)\left(x+x_{2}\right)\]

Pieņemsim, ka šīs saknes ir veseli skaitļi. Ja \(x=10\), tad iegūstam

\[a\left(10+x_{1}\right)\left(10+x_{2}\right)=100a+10b+c=\overline{abc}\]

Tātad esam ieguvuši, ka \(\overline{abc}\) ir salikts skaitlis, kas ir pretrunā ar doto. Līdz ar to vienādojumam nav veselu sakņu. **b)** Nē, saknes nevar būt racionāli skaitļi. Pieņemsim pretējo, ka saknes vienādojumam ir racionālas, tas ir, \(-\frac{p_{1}}{q_{1}}\) un \(-\frac{p_{2}}{q_{2}}\), kur \(p_{1}, q_{1}\) ir savstarpēji pirmskaitļi un arī \(p_{2}, q_{2}\) ir savstarpēji pirmskaitļi. Sadalām vienādojuma kreiso pusi reizinātājos:

\[ax^{2}+bx+c=a\left(x+\frac{p_{1}}{q_{1}}\right)\left(x+\frac{p_{2}}{q_{2}}\right)=\frac{a}{q_{1} q_{2}}\left(q_{1}x+p_{1}\right)\left(q_{2}x+p_{2}\right)\]

Ievietojot \(x=10\), iegūstam

\[\begin{gathered} \frac{a}{q_{1}q_{2}}\left(10q_{1}+p_{1}\right)\left(10q_{2}+p_{2}\right)=100a+10\left(\frac{p_{1}}{q_{1}}+\frac{p_{2}}{q_{2}}\right)+\frac{p_{1}p_{2}}{q_{1}q_{2}}=100a+10b+c=\overline{abc} \\ a\left(10q_{1}+p_{1}\right)\left(10q_{2}+p_{2}\right)=\overline{abc} \cdot q_{1}q_{2} \end{gathered}\]

Pamatosim, ja kvadrātvienādojuma \(ax^{2}+bx+c=0\) sakne ir \(\frac{p}{q}\) (nesaīsināma daļa), tad \(a\) dalās ar \(q\). levietojam vienādojumā \(ax^{2}+bx+c=0\) tā sakni \(x=\frac{p}{q}\) un pārveidojam iegūto identitāti:

\[\begin{gathered} a\left(\frac{p}{q}\right)^{2}+b\left(\frac{p}{q}\right)+c=0 \\ ap^{2}+bpq+cq^{2}=0 \\ q(cq+bp)=-ap^{2} \end{gathered}\]

Tā kā pēdējās vienādības kreisā puse dalās ar \(q\), tad arī labās puses izteiksmei jādalās ar \(q\). Ņemot vērā, ka pēc pieņēmuma \(p\) un \(q\) ir savstarpēji pirmskaitļi, secinām, ka \(a\) ir jādalās ar \(q\). Līdz ar to secinām, ka \(q_{i}\) ir viencipara skaitlis, jo \(a\) ir cipars. Analogi iegūst, ka \(c\) dalās ar \(p_{i}\). Tas nozīmē, ka \(10 q_{i}+p_{i}\) ir divciparu skaitlis. Tātad vienādība \(q_{1} q_{2} \cdot \overline{abc}=a\left(10q_{1}+p_{1}\right)\left(10q_{2}+p_{2}\right)\) nevar pastāvēt, jo kreisajā pusē ir reizinātājs \(\overline{abc}\) (trīsciparu pirmskaitlis), bet labajā pusē \(a\) ir viencipara skaitlis un pārējie reizinātāji - divciparu. Līdz ar to dotā vienādojuma saknes nav racionāli skaitļi.