Atrisinājums

Ja \(X\) un \(Y\) ir attiecīgi \(\triangle ABD\) un \(\triangle ABC\) ievilkto riņķa līniju centri (skat. 6.att.), tad \(AY\) un \(BY\) ir attiecīgi \(\sphericalangle BAC\) un \(\sphericalangle ABC\) bisektrises. Tātad

\[\begin{gathered} \sphericalangle AYB=180^{\circ}-(\sphericalangle BAY+\sphericalangle ABY)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\sphericalangle BAC+\sphericalangle ABC)= \\ =\sphericalangle BAC+\sphericalangle ABC+\sphericalangle ACB-\frac{1}{2}(\sphericalangle BAC+\sphericalangle ABC)= \\ =\frac{1}{2}(\sphericalangle BAC+\sphericalangle ABC+\sphericalangle ACB)+\frac{1}{2} \sphericalangle ACB=90^{\circ}+\frac{1}{2} \sphericalangle ACB . \end{gathered}\]

Līdzīgi \(\sphericalangle AXB=90^{\circ}+\frac{1}{2} \sphericalangle ADB\). Tā kā \(\sphericalangle ACB=\sphericalangle ADB\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz vienu un to pašu loku, tad \(\sphericalangle AYB=\sphericalangle AXB\). Tātad punkti \(A, X, Y, B\) atrodas uz vienas riņķa līnijas. Līdz ar to \(\sphericalangle XYB=180^{\circ}-\sphericalangle XAB=180^{\circ}-\frac{1}{2} \sphericalangle DAB\). Ja \(Z\) ir \(\triangle BCD\) ievilktās riņķa līnijas centrs, tad līdzīgi iegūstam, ka \(\sphericalangle ZYB=180^{\circ}-\frac{1}{2} \sphericalangle DCB\). Izmantojot šīs divas vienādības, iegūstam

\[\begin{gathered} \sphericalangle XYZ=360^{\circ}-\sphericalangle XYB-\sphericalangle ZYB=360^{\circ}-\left(180^{\circ}-\frac{1}{2} \sphericalangle DAB\right)-\left(180^{\circ}-\frac{1}{2} \sphericalangle DCB\right)= \\ =\frac{1}{2}(\sphericalangle DAB+\sphericalangle DCB)=\frac{1}{2} \cdot 180^{\circ}=90^{\circ} . \end{gathered}\]

Līdzīgi pierāda, ka arī pārējie četrstūra leņķi ir taisni, tātad tas ir taisnstūris.