Aplūkojam skaitļu virkni \(7 ; 737 ; 73737 ; 7373737 ; \ldots\), kuras pirmais loceklis ir \(7\) un katru nākamo iegūst, iepriekšējam pierakstot galā \(37\). Pierādīt, ka neviens šīs virknes loceklis nedalās ar \(17\).
Apzīmējam virknes locekļus ar \(s_{0}=7, s_{1}=737, s_{2}=73737, \ldots\)
Redzams, ka virknē ir spēkā sakarība \(s_{k+1}=100s_{k}+37\). Patiešām, skaitļi pareizinot ar \(100\) tam tiek galā pierakstītas divas nulles, bet pieskaitot \(37\) šīs nulles pārvēršas par \(37\), tātad šī operācija pieraksta skaitļa galā \(37\). Apzīmēsim ar \(a_{k}\) atlikumu virkni, kas rodas \(s_{k}\) dalot ar \(17\), \(a_{k}=s_{k}\) \(\bmod 17\). Mums jāpierāda, ka virknē ( \(a_{k}\) ) nav nevienas nulles.
Arī virknes \(a_{k}\) katrs loceklis (tāpat kā virknei \(s_{k}\) ) ir atkarīgs tikai no iepriekšējā
\[a_{k+1}=s_{k+1} \bmod 17=100s_{k}+37 \bmod 17=15a_{k}+3 \bmod 17\]
Izmantojot šo formulu un to, ka \(a_{0}=7 \bmod 17=7\), aprēķināsim virknes \(a_{k}\) pirmos locekļus. | \(k\) | \(a_{k}(\bmod 17)\) | | ---- | ----------------- | | \(0\) | \(7\) | | \(1\) | \(6\) | | \(2\) | \(8\) | | \(3\) | \(4\) | | \(4\) | \(12\) | | \(5\) | \(13\) | | \(6\) | \(11\) | | \(7\) | \(15\) | | \(8\) | \(7\) | Esam ieguvuši, ka \(a_{0}=a_{8}=7\). Tā kā šajā virknē katrs loceklis ir atkarīgs tikai no iepriekšējā, tad šī virkne būs periodiska ar periodu \(8\) : no tā, ka \(a_{0}=a_{8}\), secinām, ka \(a_{1}=a_{9}\), tad \(a_{2}=a_{10}\) utt. Tā kā starp pirmajiem \(8\) locekļiem šajā virknē nav nevienas nulles, tad, tā kā tā ir periodiska, tad arī tālāk tajā nebūs nevienas nulles.