Atrisinājums

Ievērojam, ka \(S(MAN)=S(NBM)=8+4=12\) (skat. 1.att.) un šiem trijstūriem ir kopīga mala \(MN\), tāpēc augstumi, kas no virsotnēm \(A\) un \(B\) novilkti pret šo malu \(MN\), ir vienādi jeb punkti \(A\) un \(B\) atrodas vienādā attālumā no nogriežņa \(MN\). Tātad \(MN \parallel AB\). Apskatām attiecību

\[\frac{S(MNP)}{S(PNB)}=\frac{\frac{1}{2} MP \cdot h_{MP}}{\frac{1}{2} BP \cdot h_{BP}}\]

Ievērojot, ka \(h_{MP}=h_{BP}\), iegūstam \(\frac{MN}{AB}=\frac{MP}{BP}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\). Trijstūri \(MPN\) un \(BPA\) ir līdzīgi pēc pazīmes \(\ell \ell\), jo \(\sphericalangle MPN=\sphericalangle BPA\) kā krustleņķi \(\sphericalangle MNA=\sphericalangle NAB\) kā iekšējie šķērsleņķi pie paralēlām taisnēm \(MN\) un \(AB\). Tad \(\frac{S(MPN)}{S(BPA)}=\left(\frac{MP}{BP}\right)^{2}=\frac{1}{4}\), no kā izriet, ka \(S(BPA)=4 \cdot 4=16\). Esam ieguvuši, ka \(S(AMNB)=4+8 \cdot 2+16=36\) Tā kā \(MN \parallel AB\), tad \(\triangle MCN \sim \triangle ACB\) un \(\frac{S(MCN)}{S(ACB)}=\left(\frac{MN}{AB}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\) jeb \(\frac{S(ACB)-36}{S(ACB)}=\frac{1}{4}\). Izsakām trijstūra \(ACB\) laukumu:

\[\begin{gathered} 4 \cdot S(ACB)-4 \cdot 36=S(ACB) \\ 3 \cdot S(ACB)=4 \cdot 36 \\ S(ACB)=48 \end{gathered}\]