Atrisinājums

Pārveidojot doto izteiksmi, iegūstam

\[\begin{gathered} 4a^{2}-7b^{2}=12ab \\ 4a^{2}-12ab+9b^{2}=16b^{2} \\ (2a-3b)^{2}=(4b)^{2} \\ 2a-3b= \pm 4b \end{gathered}\]

Apskatām katru gadījumu. 1. Ja \(2a-3b=4b\) jeb \(2a=7b\) un \(a=\frac{7}{2} b\), tad

\[\frac{4a^{2}+7b^{2}}{ab}=\frac{(7b)^{2}+7 \cdot b^{2}}{\frac{7}{2} b \cdot b}=\frac{49b^{2}+7b^{2}}{\frac{7}{2} b^{2}}=56 \cdot \frac{2}{7}=8 \cdot 2=16\]

2. Ja \(2a-3b=-4b\) jeb \(b=-2a\), tad

\[\frac{4a^{2}+7b^{2}}{ab}=\frac{4a^{2}+7(-2a)^{2}}{-2a^{2}}=\frac{4a^{2}+28a^{2}}{-2a^{2}}=\frac{32}{-2}=-16\]

Tātad izteiksmes \(\frac{4a^{2}+7b^{2}}{ab}\) vērtība ir vai nu \(16\) (ja \(a=\frac{7b}{2}\)), vai \(-16\) (ja \(b=-2a\)). *Piezīme.* Sakarību starp \(a\) un \(b\) var iegūt arī, dotās vienādības kreisās puses izteiksmes skaitītāja katru saskaitāmo izdalot ar \(ab\), apzīmējot \(\frac{a}{b}=x\) un atrisinot iegūto vienādojumu \(4 \frac{a}{b}-7 \frac{b}{a}=12\) jeb \(4 x-\frac{7}{x}=12\).