Atrisinājums

(A) Pamatosim, ka der, piemēram, skaitļi \(a=2\) un \(b=2021\).

Iegūstam izteiksmi \(2n+2021m\). Skaitļi \(2019\) nevar izteikt kā šo skaitļu summu, jo

\(2021 \cdot 1=2021 > 2019\);

\(2021 \cdot 0=0\) un \(2019-0=2019\), kas nedalās ar \(2\).

Pamatosim, ka visus skaitļus, kas lielāki nekā \(2019\), var izteikt formā \(2n+2021m\). Ievērojam, ka

• \(2020=2 \cdot 1010+2021 \cdot 0\) un visus pārējos skaitļus, kas lielāki nekā \(2020\) un dalās ar \(2\), iegūstam kā summu \(2 \cdot(1010+k)+2021 \cdot 0\), kur \(k \in \mathbb{N}\);
• \(2021=2 \cdot 0+2021 \cdot 1\) un visus pārējos skaitļus, kas lielāki nekā \(2021\) un, dalot ar \(2\), dod atlikumu \(1\), iegūstam kā summu \(2 \cdot k+2021 \cdot 1\), kur \(k \in \mathbb{N}\).

(B) Pierādīsim, ja \(a\) un \(b\) ir savstarpēji pirmskaitļi, tad lielākais skaitlis, ko nevar izteikt ar šiem skaitļiem, ir \(ab-a-b\).

Pieņemsim pretējo, ka \(ab-b-a\) var izteikt kā \(an+bm\). Apskatot izteiksmi \(ab-b-a=an+bm\)

• pēc moduļa \(a\), iegūstam \(-b \equiv b m(\bmod a)\) jeb \(m \equiv-1(\bmod a)\),
• pēc moduļa \(b\), iegūstam \(n \equiv-1(\bmod b)\).

No šī secinām, ka \(m \geq a-1\), jo \(m+1\) dalās ar \(a\) un skaitli \(m\) un \(a\) nav negatīvi. Tāpat secinām, ka \(n \geq b-1\). Līdz ar to iegūstam, ka

\[an+bm \geq a(b-1)+b(a-1)=2ab-a-b > ab-a-b\]

kas noved pie pretrunas. Tagad pamatosim, ka visus naturālos skaitļus, kas ir lielāki nekā \(ab-b-a\), var izteikt formā \(an+bm\). Tā kā \(a\) un \(b\) ir savstarpēji pirmskaitļi, tad katram \(n\) varam atrast tādus veselus skaitļus \(x\) un \(y\), lai \(ax+by=n\). Tas nozīmē, ka visiem veseliem \(k\) ir patiess arī \(a(x+bk)+b(y-ak)=n\). Kādam \(k\) izteiksme \((x+bk)\) nebūs negatīva. Atrodam mazāko nenegatīvo vērtību šai izteiksmei un apzīmēsim to ar \(x^{\prime}\) un atbilstošo vērtību pie \(b\) ar \(y^{\prime}\). Tātad \(ax^{\prime}+by^{\prime}=n\), pie tam \(0 \leq x^{\prime} \leq b-1\), jo pretējā gadijumā \(\left(x^{\prime}-b\right) a+\left(y^{\prime}+a\right) b=n\) un skaitlis \(x^{\prime}-b\) būtu mazāks nenegatīvs skaitlis nekā mūsu jau mazākais \(x^{\prime}\). Ja \(n > ab-a-b\), tad

\[by^{\prime}=n-ax^{\prime} > ab-a-b-a(b-1)=-b,\]

no kurienes izriet, ka \(y^{\prime} > -1\) jeb \(y^{\prime} \geq 0\). Tātad esam atraduši \(x^{\prime}, y^{\prime} \geq 0\), lai \(ax^{\prime}+by^{\prime}=n\). Tātad, lai iegūtu \(a\) un \(b\) vērtības, jāatrisina vienādojums \(ab-a-b=2019\). Vienādojuma abām pusēm pieskaitot \(1\) un sadalot reizinātāos, iegūstam

\[(a-1)(b-1)=2020\]

Ievērojot, ka \(2020=2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 101\), iegūstam | \(\boldsymbol{a}-\mathbf{1}\) | \(\boldsymbol{b}-\mathbf{1}\) | \(\boldsymbol{a}\) | \(\boldsymbol{b}\) | \((\boldsymbol{a} ; \boldsymbol{b})\) | | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | \(1\) | \(2020\) | \(2\) | \(2021\) | \((2; 2021)\) | | | \(2\) | \(1010\) | \(3\) | \(1011\) | | Neder, jo nav savstarpēji pirmskaitļi | | \(4\) | \(505\) | \(5\) | \(506\) | \((5; 506)\) | | | \(5\) | \(404\) | \(6\) | \(405\) | | Neder, jo nav savstarpēji pirmskaitļi | | \(10\) | \(202\) | \(11\) | \(203\) | \((11; 203)\) | | | \(20\) | \(101\) | \(21\) | \(102\) | | Neder, jo nav savstarpēji pirmskaitļi | *Piezīme.* Skaitļu pāri \((2; 2021), (5; 506)\) un \((11; 203)\) ir vienīgie derīgie.