Vienādojumam \(x^{3}-px+2019=0\), kur \(p\) - naturāls skaitlis, ir trīs reālas saknes \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\). Kāda var būt izteiksmes \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\) vērtība?
Ievērojot, ka \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) ir dotā vienādojuma saknes, to var pārrakstīt formā \(x^{3}-p x+2019=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)=0\). Grupējot locekļus, iegūsim šādas sakarības:
\[\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=p \\ x_{1}x_{2}x_{3}=-2019 \end{array}\right.\]
Izsakām prasīto summu:\[\begin{aligned} & x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{3}-3\left(x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{3}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{3}^{2}x_{2}\right)-6x_{1}x_{2}x_{3}= \\ & =\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{3}-3\left(p\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)-3x_{1}x_{2}x_{3}\right)-6x_{1}x_{2}x_{3}=3 x_{1}x_{2}x_{3}=3 \cdot(-2019)=-6057 \end{aligned}\]